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Ligne 140 :
'''Il est extrèmement peu probable que l'entropie d'un système isolé décroisse.
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==Illustrations==
* Rappelons d'abord que l'incertitude sur E, appelée dE n'intervient pas, log dE/E étant négligeable. De ce fait pour N très grand, on perd la notion de dimension pour le nombre N(E,V) : pas étonnant alors que ce genre de situation conduise à un Logarithme. Manin en déduit qq réfexions assez profondes.
*Comme 1/T = <math>\frac{\partial S}{\partial E}</math>, le développement de <math>\Omega(E+h)</math> se fera non pas par addition de Taylor, mais par multiplication par un facteur f dit de Boltzmann , qui sera l'objet d'une eçon ultérieure : f = exp(h/kT) . Mais d'ores et déjà, cela permet d'intéressantes remarques :
*cas de N oscillateurs : exp(e/kT) = C(N+q, q+1) / C(N+q-1, q) = (N+q)/q = N/q +1 , soit la formule d'Einstein :
q/N = E/Ne = 1/[exp(e/kT)-1]
Si les N oscillateurs se répartissent en Ni oscillateurs d'énergie ei , on retrouve la formule de Debye-Einstein :
E =<math>\Sigma</math> Ni ei . 1/[exp(ei/kT)-1 ]
*cas des N spins 1/2 : énergie 0 ou e = 2 <math>\mu</math>B/kT , on retrouve la formule de Brillouin(1/2) :
exp(e/kT) = C(N, p+1)/ C(n, p) = (N-p)/p = N/p -1, soit E = Ne /[exp(e/kT) +1 ] : l'essence du refroidissement adiabatique tant étudié par Giauque ( nobel chimie 1949) réside dans cette formule.
* citons un OdG de Rocard ( thermodynamique,p469) : l'entropie de changement d'état d'un métal desolide en liquide est positive et voisine de R , car le volume occupé par un atome localisé est V/N et donc N{solide}(V)~ (V/N)^N , alors que dans le liquide les particules "voient tout le volume" , mais il faut tenir compte de leur indiscernabilité: N{liquide}(V) = V^N/N! : on arrive aisément à la conclusion.
*Voici plus fascinant: Pomérantchuk étudiant l'hélium III dégénéré a remarqué que cette fois la variation d'entropie est négative (-R Ln2)! donc il faut chauffer le liquide pour qu'il devienne solide ! Cela est compréhensible : à très basse température le liquide fermionique dégénéré occupe un seul état : <math>\Omega</math> = 1 . Pour le solide, les atomes localisés ont un spin quelconque ( sans champ magnétique), <math>\Omega</math>= 2^N ( cf pb ensParis 1980, Claire Lhuillier).
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