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=== Comprendre la notionsnotion d'ensemble ===

Les ensembles sont des regroupementregroupements de nombres qui ont une caractéristique commune. Pour différencier les différents types de nombres (ouet donc pouvoir les classer dans des ensembles), on a recourtrecours à des définitions.

Un '''ensemble''' est défini par une ''règle'' qui permet de dire, lorsque l'on a un nombre en tête, si ce nombre ''appartient'' ou n'''appartient pas'' à cet ensemble. De même, dans l'autre sens, cette règle permet de décrire ''tous'' les nombres qui le composecomposent.

A propos des règles : il est important de comprendre, comme dans cet exemple, que les définitions ont souvent des implications cachées : le terme de ''nombres entiers'' excluexclut donc les nombres à virgule. lL'expression ''positifs obtenus en comptant à partir de 0'' excluexclut donc les nombre négatifs. Une règle des règles est la suivante : '''tout nombre qui n'a pas été ''explicitement'' incluinclus dans l'ensemble ''est donc exclu'' de cet ensemble'''.

L'ensemble des réels n'est pas "le plus grand ensemble qui puisse exister". Les mathématiciens ont inventésinventé desde nouveaux types de nombres qui ne ''peuvent plus'' être représenté physiquement. Ce sont par exemple les ''nombres imaginaires'', avec leur notation d'ensemble <math>\mathbb{C}</math>.

Ces types de nombrenombres sont uniquement utilisés dans des calculs (très) complexes ou la représentation mathématique des nombres est plus simple avec des nombres imaginaires qu'avec des nombres réels (c'est à dire que les écritures mathématiques sont plus simples en utilisant des nombres provenant de "l'ensemble des nombres imaginaires" qu'en utilisant des nombres provenant de l'"ensemble des nombres réels").

Pour savoir si un entier N est premier, onil testesuffit de tester sa divisibilité par tous les nombres premiers inférieurs dont le carré est inférieur à N (notez que tous ces nombres sont inférieurs à N). Si aucun de ces nombres premiers ne divisentdivise N, alors N est premier, sinon N n'est pas premier.

laLa règle d'addition et de soustraction des fractions n'est applicable que si les deux fractions possèdent le même dénominateur. Or, ceci ne sera généralement pas le cas. Il faudra alors réécrire les fractions en fractions équivalentes ayant un dénominateur commun.

Pour soustraire des fractions : on les réduit au même dénominateur (1) , puis on retranche le numérateur de la plus petite (2) du numérateur de la plus grande (3) , et on donne au reste (4) pour dénominateur, le dénominateur commun (5).

''UneUn nombre écrit en notation scientifique s'est écrit sous la forme'' : <math>a\times10^p</math> où :<br />

<math>a</math>: entiernombre relatifdécimal compris entre 1-10 inclusexclu et 10 non inclusexclu<br />

'''ATTENTION !!''' :{{Rouge|'''p''' est l'exposant de 10 et on le lit "10 puissance '''p'''". Ce nombre '''ne doit pas''' admettre de chiffres après la virgule c'est-à-dire le nombre 4.,56 par exemple ! Il doit impérativement être entier (comme 1,2,3,4,5...)}}

{{Vert|'''METTRE UN NOMBRE QUELCONQUE EN NOTATION SCIENTIFIQUE'''}}

Pour mettreécrire le nombre '''<math>420 \,000'''</math> en notation scientifique, il fautsuffit appliquerde latrouver propriété quile <math>a</math> étéet énoncéele juste<math>p</math> aucomme ci-dessus, c'est-à-diretels :que l'''aon Xait 10<supmath>420\,000 = a \times 10^p</sup>'''<br/math>

La notion de chiffres significatifs est liée à la précision concernant des mesures physiques. En effet, lorsque par exemple on mesure expérimentalement une distance à l'aide d'une règle graduée on est capable de donner la distance au millimetremillimètre près mais rarement mieux. On ne peut donc rien affirmer concernant les µm (<math>10^{-6}</math> m) et encore moins les nm (<math>10^{-9}</math> m). Il existe donc une incertitude concernant notre mesure. <br />

Partons d'un simple cube de 10cm de côté dont on veuxsouhaite vérifiermesurer la bonne côtetaille.

SiImaginons que l'on mesure maintenant ce même cube (décidément !) avec uneun vieillemicroscope règleélectronique usée,(précis dontau onminimum n'arriveau plusµm à(<math>10^{-6}</math> lire les petites graduations, mais uniquement les cmm)). Si l'on déclaredit, uneaprès foiscette encoremesure, "Leque le cube fait 10cm de côté", onen estréalité, exact uniquement au cm ! Onon déclare doncimplicitement cette fois implicitement: "Le cube que nous avons mesuré a une longueur de côté comprise entre 10cm - 1cm0,000001m et 10cm + 1cm0,000001m, c'est à dire entre 9 cm.9999cm et 11 cm10.0001cm". Dans ce cas, la précision est à priori insuffisante.

Imaginons que pour calculer cela taille du côté du cube, vous ayez utilisé votre calculatrice. Elle vous affiche le résultat : <code>10.00192</code>. Quelle est la bonne valeur ? "10 cm" ? "10.001 cm" ? "10.00192 cm" ?

Aucune de ces trois valeurs n'est ''la bonne valeur'' ! Cela dépend entièrement du contexte dans lequel vous avez fait ce calcul. Mais avec un peu de bon sens, vous pourrez deviner que la longueur d'un cube qui sert de cale pour un meuble dans votre salon pourra être écrite sous la forme "10 cm" (une précision supplémentaire est totalement inutile, et irréalisable), alors qu'une pièce cubique qui est le composant essentiel d'un avion pour transmettre correctement les efforts devra être fabriqué avec une tolérance très faible, donc dans ce cas la ''bonne'' valeur sera "10.00192 cm".