« Approfondissements de lycée/Arithmétique modulaire » : différence entre les versions

Il peut sembler curieux pour vous que nous avons seulement considéré l'arithmétique modulaire d'un nombre premier; il existe une raionsraison pourà cela. Et nous allons voir celle-ci maintenant.

Considérons l'arithmétique modulo 15 et notons que 15 est composé (5 × 3). Nous savons que l'inverse de 1 est 1 et celui de 14 est 14. Mais qu'en est-t'il de 3, 6, 9, 12, 5 et 10 ? Aucun d'entre eux ne possède d'inverse ! Et remarquez que chacun d'entre eux partage un facteur commun avec 15 !

Peut-être n'êtes-vous pas encore assez convaincu que cela est vrai et qu'il est bon d'être suspicieux lorsqu'un étudie les mathématiques. Mais éloignez votre doute puisque la démonstration est juste après.

Mais ceci est faux, parcequeparce que nous savons que ''x'' est un nombre entier. Par conséquent 3 n'a pas d'inverse en arithmétique mod 15. Montrer que 10 n'a pas d'inverse est plus difficile est est laissé en exercice.

Nous établieronsétablirons le théorème montrant l'existence des inverses en arithmétique modulaire sans sa démonstration, puisque celle-ci est difficile.