« Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Plan de phase » : différence entre les versions

Nous suivons la démarche de Poincaré : il s'agit ici de faire comprendre , à travers des exemples sur une droite x'Ox, que la donnée de [x0,v0] et de la règle donnant [x(t+dt);v(t+dt)]= f( [x(t);v(t)],t) est l'algorithme fondamental de la dynamique: alors appliquant la méthode point par point de Picard, cette équation différentielle a une solution unique, sous réserve de régularité sur la fonction f.

Prendre le cas où au temps initial, le mobile M se trouve en z=0, avec la vitesse +V0 : il se dirigera vers le haut jusqu'à ce que z = H1 = sqrt( Vo^2/2a). Ce parcours aura pris le temps t1 = V0/2g = sqrt(2H1/g).

Si une balle rebondissait de manière élastique sur une raquette parfaite, on aurait exactement le même type d'horloge, à condition de contrôler le mouvement de la raquette (cf Problème de Fermi-Pasta-Ulam [[chaos contrôlé]] ).

Dès 1689, Leibniz a su comprendre le mouvement radial d'un satellite en écrivant SON équation de l'énergie cinétique ( à l'époque, on disait équation des forces vives) :

soit après intégration ( on multiplie par v des 2 côtés et on intègre par rapport au temps) :

dans le cas de ces deux exemples, où l'orbite dans le plan de phase est périodique, chaque orbite (C(E)) est caractérisée par son énergie E qui reste constante( E = mgH1 dans le premier exemple , et E= -mgR^2/2a dans le cas de Kepler) et la période T(E) pour faire le tour de l'orbite dépend de cette orbite (C(E)). On peut aussi calculer la surface de l'aire enclose dans cette orbite <math> S(E) = \int_{C(E)} p(x)\cdot dx</math> . Cette quantité est fonction croissante de E , et l'on peut aussi bien indicer les orbites par S : on notera sans qu'il y ait ambiguité l'orbite par (C(S(E)))ou plus simplement (C(S)).

*Une autre raison de connaître n(E)= S(E)/h -So/h est que cela servira pour mémoriser facilement toutes les formules d'effet tunnel qui sont si importantes dans les applications ( transistor , Microscope à effet tunnel , Ecrans plats de télévision à émission de champ, etc.)

( On appelle énergie potentielle V(x) est l'opposée de la primitive de F(x)). La conservation de l'énergie donne le même type d'équation de Leibniz:

Une joue étant celle de la première cycloïde et l'autre celle de la troisième, le signal entendu est tic-tac-tic---toc---tic-tac-tic---toc, de période 3s environ , ceci quelle que soit l'envergure du mouvement, depuis quelque 10cm à quelques m: c'est assez extraordinaire à voir et entendre. Pour le montage, on aura soin de calculer la bonne longueur de la suspension bifilaire associée à la masse d'environ 1kg (détails techniques : penser à l'ajustement compte-tenu de l'effet pendule-double; sinon, il faut que la masse soit un disque monté sur d'excellents roulements à bille, dont l'axe sera serti dans une perle oblongue passée dans le bi-fil. De plus, il faut évidemment prendre du fil INEXTENSIBLE, sous une charge de 3kg. Enfin, il faut fixer solidement l'ensemble des joues pour éviter tout mouvement du support, en définitive assez lourd ).

* Niveau plus élevé : Le cas du pendule simple , beaucoup plus difficile à analyser, est assez banal ( on dit générique ): si la cuvette présente un sommet arrondi concave, de hauteur Hmax, alors usuellement T(H) tend vers l'infini logarithmiquement quand H tend vers Hmax . Cet effet de ralentissement est appelé effet Ramsauer en physique nucléaire et a son correspondant en mécanique quantique. Il ressemble beaucoup à l'effet "soliton" , analysé dans l'article pendule simple:

le taux d'harmoniques est pratiquement non décroissant jusqu'à une valeur <math>\aleph_0(H)</math>, puis s'écroule exponentiellement (donc très vite),dès que n > <math>\aleph_0(H)</math> : cela est essentiellement dû au caractère indéfiniment dérivable de s(t), c'est à dire à la "régularité" de la cuvette ( cf Appell, mécanique, 1915).

* {{Note annexe : préciser, néanmoins, qu'il ne faudrait pas croire que l'anharmonicité soit toujours dû à ce mécanisme de ralentissement T(H); on connaît des cas de cuvettes (non-symétrique) où T(H) = cste= To , mais où l'anharmonicité devient très grande ( la fonction périodique s(t) ressemble alors à de la houle très pointue; un exemple est V(x) = x -sqrt(x)),étudié en physique des plasmas)]].

Alors on a évidemment la vitesse v(x) constante (au signe près), égale à sqrt( 2E/m) et la période T(E) = 2 a/sqrt(2E/m). L'analyse de Fourier de s(t), qui est une fonction "triangle", donne des coefficients qui décroissent comme 1/n^2 et non pas exponentiellement.

Cela s'appelle résoudre un problème inverse. Landau et Lifschitz ( mécanique, ed Mir) traite ce '''problème difficile'''.

La notion mathématique qui s'applique bien ici est la notion de dérivée fractionnaire d'ordre 1/2, dite d'Abel. En fait c'est la fonction réciproque s(h) que l'on détermine ( on a déjà vu dans le cas du pendule simple que h (et non s) est la bonne fonction inconnue, et alors on en déduit s(h(t)) ):la formule est :

* la cuvette de Torricelli ( cf diagramme horaire)avec T=4sqrt(2H/gsinα: s= h/sinα.

* si on rajoute la barrière centrifuge, la cuvette est non symétrique, mais le raisonnement ( adapté)donne bien , quel que soit le moment cinétique, le résultat, U ~ -1/r.

mais on peut opter pour une démonstration sans l'artillerie lourde ( des dérivées fractionnaires!); voici celle empruntée à Landau (on a pris g=1) :

Très souvent en physique, le puits de potentiel est légèrement perturbé par l'adjonction d'un paramètre que l'on peut contrôler ( champ magnétique:effet Zeeman classique; champ électrique: effet Stark classique, etc.).Il est alors intéressant de savoir quelle est la nouvelle période T(H).

* soit le mouvement non perturbé s(t,H), de période T(H). Dans le plan de phase, l'orbite fermée, d'énergie H est décrite dans le sens rétrograde avec la période T(H) en enserrant une aire S(H),( en joule.seconde), appelée l'Action S(H). UN résultat classique de mécanique hamiltonienne est T(H) = dS/dH.

l'autre , la mécanique quantique( 1926) qui fera exploser cette notion d'orbite dans l'espace des phases en la remplaçant par des cheminements qui interfèrent, pour le dire vite.

Si de plus g(x) = -x , v ne change pas le long de la courbe (dite de Liénard (L)) x + f(v)=0 qu'il est donc intéressant de tracer ( les tangentes à l'orbite y sont horizontales); mais on peut dire plus : à droite de la courbe, v² diminue, et on peut donner la règle qui mène de M au point M' voisin et donc avoir une intuition assez précise de la forme de la courbe. Montrer que cette règle est la suivante: du point M tracer l'horizontale qui coupe (L) en L (point de Liénard); soit l'abscisse H du point L : alors MM' est perpendiculaire en M à HM. On trace ainsi rapidement au compas les petits arcs tangents à la courbe.

L'existence des parachutes ( et l'expérience de ceux-ci date de bien avant Galilée) montre bien l'inanité de la loi z= 1/2.g.t².

Quand un objet tombe dans l'air, outre le fait de décompter la légère poussée d'Archimède, il faut surtout "intuiter" la loi de Reynolds : celui-ci indiqua que pour une forme donnée et une texture de contact identique, alors la masse ou la densité du corps n'intervenait pas , et ce qu'il importait c'était de "fendre l'air" au mieux, pour une section apparente ( on parle du maître-couple S en m²) donnée : la résistance était alors du type : -Cx.a .S.v² , avec a la masse volumique de l'air et le Cx le coefficient dit aérodynamique du corps ( on a tous vu des casques de vélo!). Typiquement pour une sphère, Cx = 0.25 ; mais attention, pour une balle de golf alvéolée, il n'en va pas de même ! Idem des samares , ou des splendides fleurs de pissenlit: les regarder remplit d'émerveillement.

dV/dt' = (1-V²) en ayant pris t' = gt/Vo : d'où t' = 1/2 Ln(1+V)/(1-V), soit V = tanh( t') et puis X = Ln(cosh(t') : bien sûr , il faut vérifier qu'au début du mouvement v = gt et x = 1/2 .g.t² !

Enfin , signalons ce résultat assez surprenant dans le cas de chute d'une sphère de masse M dans un superfluide ( donc de viscosité nulle): on peut oublier le superfluide et rajouter à M , la masse du fluide soit -a.(4/3)R. Pi.R² .dv/dt : ce joli résultat est dû à Greene vers 1838 : c'est un des premiers résultats de '''Renormalisation''' avant la lettre(cf cours Connes 2005 CdF).