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:<math>x_0 = 0\,</math>
== ProjectProjet -- ElementaryMatrices matricesélémentaires ==
Partout,
Throughout,
<math> A = \begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}</math>
1. TheLes matrices belowci-dessous aresont calledappelées ''elementary matrices élémentaires''. HowComment are theces matrices belowci-dessous differentdiffèrent-elles fromde thela identitymatrice matrixidentité ''I'', describedécrivons eachchacune oned'elles.
* <math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}</math>
* <math>\begin{pmatrix} 1 & f \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> whereoù f isest aun scalarscalaire
* <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ f & 1 \end{pmatrix}</math> whereoù f isest aun scalarscalaire
* <math>\begin{pmatrix} f & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> whereoù f isest aun scalarscalaire
* <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & f \end{pmatrix}</math> whereoù f isest aun scalarscalaire
2. InDans eachchacun ofdes the casescas, computecalculons '''B''' thenpuis describedécrivons how iscomment '''B''' differentest différente fromde '''A'''
* <math>B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}A</math>
* <math>B = \begin{pmatrix} 1 & f \\ 0 & 1 \end{pmatrix}A</math> whereoù f isest aun scalarscalaire
* <math>B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ f & 1 \end{pmatrix}A</math> whereoù f isest aun scalarscalaire
* <math>B = \begin{pmatrix} f & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}A</math> whereoù f isest aun scalarscalaire
* <math>B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & f \end{pmatrix}A</math> whereoù f isest aun scalarscalaire
3. TheLa matrixmatrice <math>\begin{pmatrix}1 & 2\\4 & 3\end{pmatrix}</math> haspossède determinantun notdéterminant equaldifférent tode zerozéro. WeNous canpouvons ''decomposedécomposer'' thela matrixmatrice intoen productsproduits of elementaryde matrices preélémentaires en pré-multiplyingmultipliant thel'identité identity:
:<math>\begin{pmatrix}1 & 2\\4 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1 & 3\\0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1 & -3\\0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}</math>
NowMaintenant, supposesupposons <math>det('''''A''''') &\ne; 0\,</math>, can '''''A''''' bepeut-elle expressedêtre asexprimée thecomme productle ofproduit elementaryde matrices andélémentaires theet de l'identité identity?
4.
a) ShowMontrer thatque everychaque elementarymatrice matrixélémentaire haspossède anun inverse. HintAstuce : useutiliser le determinantdéterminant.
b) ProveDémontrer thatque everychaque invertiblematrice matrixinversible (aune matrixmatrice thatqui hasa anun inverse) isest thele productproduit ofde some elementarycertaines matrices pre-multiplyingélémentaires thepré-multipliant identityl'identité.
5.
ALa ''transposetransposée'' of ad'une matrixmatrice '''''C''''' isest thela matrixmatrice '''''C'''''<supmath>TC^t\,</supmath> whereoù thela ''i''thème rowligne ofde '''''C''''' isest thela ''i''thème columncolonne ofde '''''C'''''<supmath>TC^t\,</supmath>.
ProveDémontrer usingen elementaryutilisant les matrices thatélémentaires que
:<math>(DE)^Tt = E^TDtD^Tt\,</math>
forpour arbitrarydes matrices arbitraires '''''D''''' andet '''''E'''''.
6. ShowMontrer thatque everychaque invertiblematrice matrixinversible isest alsoaussi thele productproduit ofde some elementarycertaines matrices élémentaires '''post'''-multiplyingmultipliant the identityl'identité.
7. Qu'en est'il des matrices non-inversibles ? Que pouvez-vous dire à propos d'elles ?
7. How about non-invertible matrices? What can you say about them?
== Problem Set ==
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