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« Approfondissements de lycée/Matrices » : différence entre les versions

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Ligne 1 405 :
:<math>A\overrightarrow{x} - \lambda I \overrightarrow{x} = 0</math>
:<math>(A - \lambda I) \overrightarrow{x} = 0</math>
La matrice ('''A''' - <math>\lambda\,</math>'''I''') '''NE DOIT PAS ETRE''' un inverse, parceque sinon <math>\overrightarrow{x}</math> = '''0'''. Par conséquent <math>det(A - \lambdaIlambda I) = 0\,</math>.
Supposons
:<math>
Ligne 1 424 :
 
:<math>
0 = \det(A-\lambda I) = (a - \lambda)(d - \lambda) - bc\,
</math>
 
Maintenant, nous voyons que <math>det(A - \lambdaIlambda I) = 0\,</math> est un polynôme en <math>\lambda\,</math> et <math>det(A - \lambdaIlambda I) = 0\,</math>. Nous sommes déjà bien entraînés à la résolution de polynômes quadratiques, donc il est facile d'extraire les valeurs de <math>\lambda\,</math>. Une fois que nous avons extrait les valeurs de <math>\lambda\,</math>, nous pouvons extraire <math>\overrightarrow{x}</math> (voir les exemples). Si
:<math>Ax_o = \lambda_0x_o\,</math>
pour un certain <math>x_o\,</math> et un certain <math>\lambda_0\,</math>, alors <math>\lambda_0\,</math> est appelé la ''valeur propre'' de A et <math>x_o\,</math> le ''vecteur propre'' de A et correspondant à <math>\lambda_0\,</math>.
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