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calculer <math>B^5\,</math>
=== EigenvectorVecteur andpropre eigenvalueet valeur propre ===
Nous savons à partir de la section précédente que si les vecteurs propres d'une matrice sont donnés, nous pouvons trouver les valeurs propres correspondantes, et ainsi, nous pouvons calculer ses puissances rapidement. Le dernier obstacle réside dans la recherche des vecteurs propres sans savoir ce qu'ils sont.
We know from the above section that for a matrix if we are given its eigenvectors, we can find the corresponding eigenvalues, and then we can compute its powers quickly. The last hurdle becomes finding the eigenvectors without knowing what they are.
AnUn eigenvectorsvecteur propre <math>\overrightarrow{x}</math> ofd'une a matrixmatrice '''A''' andet itssa correspondingvaleur eigenvaluepropre &correspondante <math>\lambda;\,</math> aresont relatedreliés bypar thel'expression followingcorrespondante expression:
:<math>A\overrightarrow{x} = \lambda \overrightarrow{x}\,</math>
whereoù <math>x &\ne; ''0''\,</math> whereoù ''0'' isest thela zeromatrice matrixzéro (alltoutes entriesles zeroentrées sont égales à zéro). WeNous canpouvons safelyassurément assumesupposer thatque '''A''' isest givendonné, sodonc thereil areexiste twodeux unknownsinconnues -- <math>\overrightarrow{x}\,</math> andet &<math>\lambda;\,</math>. AsComme wenous onlyavons havequ'une oneseule equationéquation, wenous needavons tobesoin d'éliminer eliminateune oneinconnue unknown:
:<math>A\overrightarrow{x} - \lambda \overrightarrow{x} = 0</math>
:<math>A\overrightarrow{x} - \lambda I \overrightarrow{x} = 0</math>
:<math>(A - \lambda I) \overrightarrow{x} = 0</math>
TheLa matrixmatrice ('''A''' - &<math>\lambda;\,</math>'''I''') must '''NOTNE DOIT PAS ETRE''' have anun inverse, becauseparceque if it does thensinon <math>\overrightarrow{x}</math> = '''0'''. ThereforePar conséquent <math>det(A - λI\lambdaI) = 0\,</math>.
Supposons
Suppose
:<math>
A =
</math>
NowMaintenant, wenous seevoyons que <math>det(A -λI \lambdaI) is= a0\,</math> polynomialest inun &polynôme en <math>\lambda;\,</math> andet <math>det(A -λI \lambdaI) = 0\,</math>. WeNous aresommes alreadydéjà well-trainedbien inentraînés solvingà quadratics,la sorésolution it'sde easypolynômes toquadratiques, workdonc outil theest valuesfacile ofd'extraire &les valeurs de <math>\lambda;\,</math>. OnceUne we'vefois workedque outnous theavons valuesextrait ofles &valeurs de <math>\lambda;\,</math>, we cannous workpouvons outextraire <math>\overrightarrow{x}</math> (seevoir les examplesexemples). IfSi
:<math>Ax_o = \lambda_0x_o\,</math>
:A'''x'''<sub>o</sub> = λ<sub>0</sub>'''x'''<sub>o</sub>
forpour someun certain '''x'''<submath>ox_o\,</submath> andet someun certain λ<submath>0\lambda_0\,</submath>, thenalors recall λ<submath>0\lambda_0\,</submath> isest calledappelé thela ''eigenvaluevaleur propre'' ofde A andet '''x'''<submath>ox_o\,</submath> thele ''eigenvectorvecteur propre'' ofde A andet correspondingcorrespondant toà λ<submath>0\lambda_0\,</submath>.
==== ExampleExemple 1 ====
Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de
Find the eigenvalues and eigenvectors of
:<math>A =
\begin{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>
andpuis then findtrouver D andet P suchtel thatque <math>A = P<sup>^{-1}DP\,</supmath>DP.
'''Solution'''
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