« Approfondissements de lycée/Matrices » : différence entre les versions
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Ligne 896 :
'''f)''' Calculer <math>A^100\,</math>
== *Rélations de récurrence linéaire revisitées* ==
Nous avons déjà discuté des relations de récurrence linéaire dans le chapitre [[AL Dénombrement et séries de puissances | Dénombrement et séries de puissances]]. Nous les étudierons de nouveau en utilisant les matrices. Considérons les nombres de Fibonacci
:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...
:<math>
\begin{matrix}
Ligne 970 :
\end{matrix}
</math>
En fait, beaucoup de relations de récurrence linéaire peuvent être exprimées sous forme matricielle, c.a.d.
:<math>x_n = 2x_{n-1} + x_{n-2}; \ \mbox{
:<math>x_1 = 1</math>
:<math>x_0 = 1</math>
peut être exprimée comme
:<math>
\begin{pmatrix}
Ligne 991 :
\end{pmatrix}
</math>
et par conséquent
:<math>
\begin{pmatrix}
Ligne 1 009 :
</math>
===
Considérons
:<math>
A =
Ligne 1 039 ⟶ 1 038 :
</math>
:<math>A\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{x}</math>
et
:<math>A\overrightarrow{y} = 3\overrightarrow{y}</math>.
:<math> B\overrightarrow{ w } = \lambda \overrightarrow{ w }</math>
:<math>
A\begin{pmatrix}\overrightarrow{x} & \overrightarrow{y}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\overrightarrow{x} & \overrightarrow{y}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}
</math>
ou écrite complètement sous forme numérique
:<math>
\begin{pmatrix}
Ligne 1 076 ⟶ 1 075 :
</math>
:<math>
\begin{pmatrix}
Ligne 1 086 ⟶ 1 085 :
</math>
Nous avons
:<math>
\begin{pmatrix}
Ligne 1 106 ⟶ 1 105 :
</math>
Maintenant, pour calculer <math>A^n\,</math>, nous devons seulement faire
:<math>A^n =
\begin{pmatrix}
Ligne 1 144 ⟶ 1 143 :
</math>
mais multiplier par l'inverse pour donner ''I'', donc, nous somme avec
:<math>A^n =
\begin{pmatrix}
Ligne 1 164 ⟶ 1 163 :
</math>
qui est très facile à calculer puisque les puissances d'une matrice diagonale sont faciles à calculer (simplement élever à la puissance chaque entrée).
====
'''Solution'''
Nous faisons
:<math>
A^5 =
Ligne 1 212 ⟶ 1 211 :
</math>
====
Soit
:<math>B = \begin{pmatrix}
-13 & 28\\
Ligne 1 219 ⟶ 1 218 :
\end{pmatrix}
</math>
et ses vecteurs propres sont
:<math>\begin{pmatrix}
2\\
1
\end{pmatrix}
</math>
7\\
4
Ligne 1 230 ⟶ 1 229 :
</math>
Calculer <math>B^5\,</math> directement (facultatif), et de nouveau en utilisant la méthode ci-dessus.
''' Solution '''
Nous devons d'abord déterminer ses valeurs propres. Nous effectuons
:<math>\begin{pmatrix}
-13 & 28\\
Ligne 1 247 ⟶ 1 246 :
\end{pmatrix}
</math>
donc la valeur propre correspondante à
:<math>\begin{pmatrix}
2\\
Ligne 1 253 ⟶ 1 252 :
\end{pmatrix}
</math>
De manière similaire,
:<math>\begin{pmatrix}
-13 & 28\\
Ligne 1 273 ⟶ 1 272 :
\end{pmatrix}
</math>
donc, l'autre valeur propre est 3.
Maintenant, nous les écrivons sous la forme :
:<math>\begin{pmatrix}
-13 & 28\\
Ligne 1 293 ⟶ 1 292 :
\end{pmatrix}
</math>
:<math>\begin{pmatrix}
-13 & 28\\
Ligne 1 313 ⟶ 1 312 :
</math>
Maintenant
:<math>\begin{pmatrix}
-13 & 28\\
Ligne 1 332 ⟶ 1 331 :
\end{pmatrix}
</math>
:en multipliant le coté droit, nous obtenons
<math>\begin{pmatrix}
-13 & 28\\
Ligne 1 344 ⟶ 1 343 :
</math>
====
Les vecteurs propres d'une matrice '''A''' sont donnés
# Calculer les valeurs propres (si elles ne sont pas données)
#
# Calculer <math>A^n\,</math> en utilisant l'équivalence du coté droit
====
1. Les vecteurs propres de
:<math>B = \begin{pmatrix}
-8&6\\
-15&11
\end{pmatrix}</math>
sont
:<math>\begin{pmatrix}
2\\
3
\end{pmatrix}</math>
3\\
5
\end{pmatrix}</math>
2. Les vecteurs propres de
:<math>B = \begin{pmatrix}
-8&6\\
-9&7
\end{pmatrix}</math>
sont
:<math>\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}</math>
2\\
3
\end{pmatrix}</math>
3. Les vecteurs propres de
:<math>B = \begin{pmatrix}
177&-140\\
225&-178
\end{pmatrix}</math>
sont
:<math>\begin{pmatrix}
4\\
Ligne 1 394 ⟶ 1 393 :
9
\end{pmatrix}</math>
=== Eigenvector and eigenvalue ===
|