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« Approfondissements de lycée/Matrices » : différence entre les versions

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Ligne 896 :
'''f)''' Calculer <math>A^100\,</math>
 
== *Rélations de récurrence linéaire revisitées* ==
== *Linear recurrence relations revisited* ==
Nous avons déjà discuté des relations de récurrence linéaire dans le chapitre [[AL Dénombrement et séries de puissances | Dénombrement et séries de puissances]]. Nous les étudierons de nouveau en utilisant les matrices. Considérons les nombres de Fibonacci
We have already discussed linear recurrence relations in the [[HSE Counting and Generating functions | Counting and Generating functions]] chapter. We shall study it again using matrices. Consider the Fibonacci numbers
:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...
whereoù eachchaque numbernombre isest thela sumsomme ofdes twodeux precedingnombres numbersprécédents. LetSoit x<submath>nx_n\,</submath> be thele (n + 1)thème Fibonaccinombre numberde Fibonacci, wenous pouvons canécrire write:
:<math>
\begin{matrix}
Ligne 970 :
\end{matrix}
</math>
En fait, beaucoup de relations de récurrence linéaire peuvent être exprimées sous forme matricielle, c.a.d.
In fact many linear recurrence relatioins can be expressed in matrix form , e.g.
:<math>x_n = 2x_{n-1} + x_{n-2}; \ \mbox{ifsi n} \ge 2</math>
:<math>x_1 = 1</math>
:<math>x_0 = 1</math>
peut être exprimée comme
can be expressed as
:<math>
\begin{pmatrix}
Ligne 991 :
\end{pmatrix}
</math>
et par conséquent
and therefore
:<math>
\begin{pmatrix}
Ligne 1 009 :
</math>
 
SoDonc ifsi wenous knewsavions howcomment tocalculer computeles thepuissances powers ofde matrices quicklyrapidement, thenalors wenous canpourrions workextraire outinstantanément thele (n + 1)thème Fibonaccinombre numberde in no timeFibonacci.
 
=== ComputingCalculer Powersles Quicklypuissances rapidement ===
Note from on we emphasise if a matrix is a vector by writing an arrow on top of it.
 
Considérons
Consider
:<math>
A =
Ligne 1 039 ⟶ 1 038 :
</math>
 
SomethingQuelque interestingchose happensd'intéressant se passe whenlorsque youvous multiplymultipliez '''''A''''' bypar eithersoit <math>\overrightarrow{x}</math> orou <math>\overrightarrow{y}</math> (''Try itEssayez-le''). InEn factfait,
:<math>A\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{x}</math>
et
and
:<math>A\overrightarrow{y} = 3\overrightarrow{y}</math>.
 
GenerallyGénéralement forpour aune matrixmatrice '''B''', ifsi aun vectorvecteur ''<math>w'' &\ne; ''0''\,</math> (thela matrice avec toutes matrixles withentrées allégales entriesà zerozéro) suchtelles thatque
:<math> B\overrightarrow{ w } = \lambda \overrightarrow{ w }</math>
forpour someun scalarcertain &scalaire <math>\lambda;\,</math>, thenalors <math> \overrightarrow{ w } </math> isest calledappelé aun eigenvectorvecteur ofpropre de '''B''' andet &<math>\lambda;\,</math> la valeur thepropre eigenvaluede of '''B''' (correspondingcorrespondante toà ''w'').
 
ThisCeci isest aune featureparticularité ofdes matrices thatqui bepeut exploitedêtre toexploitée computepour powerscalculer easily.les Here'spuissances facilement. howIci, usingen utilisant '''''A''''', ''x'' andet ''y'' fromcomme aboveprécédemment, wenous writeécrivons theles twodeux piecesparties ofde l'information togetherensemble sous informe matrixmatricielle form:
:<math>
A\begin{pmatrix}\overrightarrow{x} & \overrightarrow{y}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\overrightarrow{x} & \overrightarrow{y}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}
</math>
ou écrite complètement sous forme numérique
or written completely in numeral form
:<math>
\begin{pmatrix}
Ligne 1 076 ⟶ 1 075 :
</math>
 
youvous areêtes encouragedencouragés toà checkvérifier thesi abovecela isest correct. WhatCe weque didnous wasavons wefait, c'est la fusion mergedde <math>\overrightarrow{x}</math> andet <math>\overrightarrow{y}</math> intoen aune matrixmatrice usingen eachutilisant vectorchaque asvecteur acomme columnune colonne, nextpuis wenous multipliedl'avons itmultiplié bypar theune diagonalmatrice matrixdiagonale whosedont entriesles areentrées thesont les ''eigenvaluevaleurs propres'' ofde eachchaque ''eigenvectorvecteur propre'' correspondinglycorrespondant.
 
HowComment toexploiter nowcette exploitedforme thismatricielle matrixpour formcalculer toles calculatepuissances powers ofde '''''A''''' quicklyrapidement ? WeNous requirerequérons aune simple butmais ingeniusingénieuse stepétape -- post-multiplymultiplier (i.e. multiplymultiplier fromà thepartir rightde la droite) bothles sidesdeux bycotés thepar l'inverse ofde
:<math>
\begin{pmatrix}
Ligne 1 086 ⟶ 1 085 :
</math>
 
Nous avons
we have
:<math>
\begin{pmatrix}
Ligne 1 106 ⟶ 1 105 :
</math>
 
Maintenant, pour calculer <math>A^n\,</math>, nous devons seulement faire
Now to calculate '''''A'''''<sup>n</sup>, we need only to do
:<math>A^n =
\begin{pmatrix}
Ligne 1 144 ⟶ 1 143 :
</math>
 
mais multiplier par l'inverse pour donner ''I'', donc, nous somme avec
but inverses multiply to give ''I'', so we are left with
:<math>A^n =
\begin{pmatrix}
Ligne 1 164 ⟶ 1 163 :
</math>
 
qui est très facile à calculer puisque les puissances d'une matrice diagonale sont faciles à calculer (simplement élever à la puissance chaque entrée).
which is very easy to compute since powers of a diagonal matrix are easy to compute (just take each entry to the power).
 
====ExampleExemple 1====
ComputeCalculer '''''A'''''<supmath>A^5\,</supmath> whereoù '''''A''''' isest givendonnée aboveci-dessus.
 
'''Solution'''
Nous faisons
We do
:<math>
A^5 =
Ligne 1 212 ⟶ 1 211 :
</math>
 
====ExampleExemple 2====
Soit
Let
:<math>B = \begin{pmatrix}
-13 & 28\\
Ligne 1 219 ⟶ 1 218 :
\end{pmatrix}
</math>
et ses vecteurs propres sont
and its eigenvectors are
:<math>\begin{pmatrix}
2\\
1
\end{pmatrix}
</math> andet <math>\begin{pmatrix}
7\\
4
Ligne 1 230 ⟶ 1 229 :
</math>
 
Calculer <math>B^5\,</math> directement (facultatif), et de nouveau en utilisant la méthode ci-dessus.
Calculate '''''B'''''<sup>5</sup> directly (optional), and again using the method above.
 
''' Solution '''
Nous devons d'abord déterminer ses valeurs propres. Nous effectuons
We need to first determine its eigenvalues. We do
:<math>\begin{pmatrix}
-13 & 28\\
Ligne 1 247 ⟶ 1 246 :
\end{pmatrix}
</math>
donc la valeur propre correspondante à
so the eigenvalue corresponding to
:<math>\begin{pmatrix}
2\\
Ligne 1 253 ⟶ 1 252 :
\end{pmatrix}
</math>
isest 1.
 
De manière similaire,
Similarly,
:<math>\begin{pmatrix}
-13 & 28\\
Ligne 1 273 ⟶ 1 272 :
\end{pmatrix}
</math>
donc, l'autre valeur propre est 3.
so the other eigenvalue is 3.
 
Maintenant, nous les écrivons sous la forme :
Now we write them in the form:
:<math>\begin{pmatrix}
-13 & 28\\
Ligne 1 293 ⟶ 1 292 :
\end{pmatrix}
</math>
nowmaintenant, makerevenons à '''''B''''' the subject
:<math>\begin{pmatrix}
-13 & 28\\
Ligne 1 313 ⟶ 1 312 :
</math>
 
Maintenant
Now
:<math>\begin{pmatrix}
-13 & 28\\
Ligne 1 332 ⟶ 1 331 :
\end{pmatrix}
</math>
:en multipliant le coté droit, nous obtenons
:so multiplying the right hand side out, we get
<math>\begin{pmatrix}
-13 & 28\\
Ligne 1 344 ⟶ 1 343 :
</math>
 
==== SummaryRésumé -- computecalculer powersles quicklypuissances de matrices rapidement ====
Les vecteurs propres d'une matrice '''A''' sont donnés
Given eigenvectors of a matrix '''A'''
# Calculer les valeurs propres (si elles ne sont pas données)
# Compute the eigenvalues (if not given)
# Write in the formEcrire '''A''' =sous la forme PDP<supmath>A = PDP^{-1}\,</supmath>, whereoù D isest aune diagonalmatrice matrixdiagonale ofdes thevaleurs eigenvaluespropres, andet P theles vecteurs eigenvectorspropres asen columnscolonnes
# Calculer <math>A^n\,</math> en utilisant l'équivalence du coté droit
# Compute '''A'''<sup>n</sup> using the right hand side equivalent
 
==== ExercisesExercices ====
1. Les vecteurs propres de
1. The eigenvectors of
:<math>B = \begin{pmatrix}
-8&6\\
-15&11
\end{pmatrix}</math>
sont
are
:<math>\begin{pmatrix}
2\\
3
\end{pmatrix}</math> andet <math>\begin{pmatrix}
3\\
5
\end{pmatrix}</math>
calculatecalculer B<supmath>B^5\,</supmath>
 
2. Les vecteurs propres de
2. The eigenvectors of
:<math>B = \begin{pmatrix}
-8&6\\
-9&7
\end{pmatrix}</math>
sont
are
:<math>\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}</math> andet <math>\begin{pmatrix}
2\\
3
\end{pmatrix}</math>
calculatecalculer B<supmath>B^5\,</supmath>
 
3. Les vecteurs propres de
3. The eigenvectors of
:<math>B = \begin{pmatrix}
: <math>B = \begin{pmatrix}
177&-140\\
225&-178
\end{pmatrix}</math>
sont
are
:<math>\begin{pmatrix}
4\\
Ligne 1 394 ⟶ 1 393 :
9
\end{pmatrix}</math>
calculatecalculer B<supmath>B^5\,</supmath>
 
=== Eigenvector and eigenvalue ===
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