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ceci confirme le résultat déduit en utilisant un argument de dénombrement.
== ProblemEnsemble Setde problèmes ==
1. AUne NewNouvelle CompanyCompagnie hasa borrowedemprunté $250, 000 for€ thepour initialle capital toinitial startde updémarrage, andet thela bankbanque hasprend aun monthlyintérêt interestmensuel ofde 3 %. BeforeAvant thela endfin ofde eachchaque monthmois, theyils planenvisagent tode returnrendre $x and€ interestet isl'intérêt countedest atcompré thele lastdernier dayjour ofde thatce monthmois.
LetSoit D<submath>nD_n\,</submath> bela thedette debtqui leftreste afteraprès n monthsmois.
a)DefineDéfinir D<submath>nD_n\,</submath> recursivelyrécursivement.
b)FindTrouver theles minimumvaleurs valuesminimales ofde x.
c)Extraire la formule générale pour <math>D_n\,</math>.
c)Find out the general formula for D<sub>n</sub>.
d)Ainsi, déterminer combien de mois sont nécessaires pour tout rembourser s'ils rendent 12 000 € chaque mois.
d)Hence, determine how many months do they need to return all debts if they return $12,000 each month.
2. AUn binaryarbre treebinaire isest aun treearbre whereoù whichà nodepartir cande havechaque fromnoeud, zeroon childpeut nodeavoir updeux to two child nodesnoeuds. ShownMontrer inque thela figure below is anci-dessous exampleest ofun aexemple binaryd'arbre treebinaire.
[[Image:HSE_ch5_binary_tree.png]]
a)Soit <math>c_n\,</math> le nombre d'arrangements uniques d'un arbre binaire avec n noeuds au total. Soit C(z), une série de puissances de <math>c_n\,</math>.
a)Let c<sub>n</sub> be the number of unique arrangements of a binary tree with totally n nodes. Let C(z) be a generating function of c<sub>n</sub>.
(i)DefineDéfinir C(z) usingen recursionutilisant la récursion.
(ii)HencePuis, findtrouver thela closedforme formréduite ofde C(z).
b)LetSoit <math>P(x)=\sqrt{1+ax}=p_0 + p_1 x + p_2 x^2 + p_3 x^3 ...</math> beune asérie powerde seriespuissances.
(i)ByEn consideringconsidérant thela dérivée n-thième derivative ofde P(x), findtrouver aune formulaformule forpour p<submath>np_n\,</submath>.
(ii)UsingEn resultsutilisant fromles résultats à partir de a) andet b)(i) , orou otherwiseautrement, derivedéduire aune formulaformule pour for c<submath>nc_n\,</submath>.
Conseil : Au lieu de faire une récursion pour rechercher le changement dans <math>c_n\,</math> lorsqu'on ajoute des noeuds à la base, essayer de penser à la manière opposée, et à la direction. (Et non, sans supprime de noeuds)
Hint: Instead of doing recursion of finding the change in c<sub>n</sub> when adding nodes at the buttom, try to think in the opposite way, and direction.(And no, not deleting nodes)
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