« Approfondissements de lycée/SE Infini et processus infinis » : différence entre les versions

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3. Le cardinal des nombres pairs inférieurs à 100 n'est pas égal au cardinal des nombres naturels inférieurs à 100. Vous pouvez simplement écrire les deux et compter les nombres. Alors, vous verrez que le cardinal des nombres pairs inférieurs à 100 est 49 et que le cardinal des nombres naturels inférieurs à 100 est 99. Ainsi, l'ensemble des nombres naturels inférieur à 100 est plus grand que l'ensemble des nombres pairs inférieurs à 100. La grande différence entre ensembles finis et infinis est qu'un ensemble fini ne peut pas être mis en bijection avec n'importe lequel de ses sous-ensembles. Alors qu'un ensemble infini peut être mis en bijection avec au moins un de ses sous-ensembles.<br/>
4. Chaque partie de la somme est renseignée ci-dessous
4. Each part of the sum is answered below
:<imath>infinity\infty + 1 = infinity\infty\,</imath>
:Vous pouvez démontrer ceci en prenant un ensemble de cardinal 1, par exemple, un ensemble constitué seulement du nombre 0. Vous additionnez simplement cet ensemble avec l'ensemble dénombrable infini pour mettre l'ensemble infini et l'ensemble infini+1 en bijection.
:You can prove this by taking a set with a cardinality of 1, for example a set consisting only of the number 0. You simply add this set in front of the countably infinite set to put the infinite set and the inifinite+1 set into one to one correspondence.
::'''N''' &nbsp; '''N+1'''
:: 1 &nbsp; 0
:: 3 &nbsp; 2
:: 4 &nbsp; 3
:<imath>infinity\infty + A = infinity\infty\,</imath> (where A isest aun finiteensemble setfini)
:Vous ajoutez simplement l'ensemble fini avec l'ensemble infini comme ci-dessus, à la différence que l'ensemble fini n'a pas besoin d'avoir le cardinal 1.
:You simply add the finite set in front of the infinite set like above, only the finite set doesn't need to have a cardinality of one anymore.
:<imath>infinity\infty + C = infinity\infty\,</imath> (where C isest aun countablyensemble infinitedénombrable setinfini)
:Vous prenez un article de chaque ensemble (infini ou C) alternativement, ceci fera une nouvelle liste infinie dénombrable également.
:You take one item of each set (infinity or C) in turns, this will make the new list also countably infinite.
===IsL'ensemble thedes setnombres ofrationnels rationalest-il numbersplus biggergrand thanque N ? exercisesexercices===
1. ToPour changechanger thela matrixmatrice fromde Q' tovers Q, thela firstpremière stepétape youdont needvous toavez takebesoin isest tod'enlever removeles theentrées multiplemultiples entries for thed'un samemême numbernombre. YouVous canpouvez dofaire thisceci byen leavinglaissant anun emptyespace spacevide indans thela table whenlorsque gcdpgcd(topnrnbhaut,bottomnrnbbas)&ne;1 becauseparceque whenlorsque thele gcdpgcd isnn'test pas 1, thela fraction canpeut beêtre simplifiedsimplifiée byen dividingdivisant thele topnombre anddu bottomhaut numberet bydu thebas gcd.par Thisle willpgcd. leaveCeci youvous withdonnera the followingla table suivante.
:<math>\begin{matrix}\frac{1}{1} & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \cdots\\ & & \\\frac{2}{1} & & \frac{2}{3} & \cdots\\ & & \\\frac{3}{1} & \frac{3}{2} & & \cdots\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{matrix}</math>
Maintenant, nous avons seulement besoin d'ajouter zéro à la matrice et nous aurons terminé. Donc, nous ajoutons une ligne verticale pour zéro et nous écrivons l'élément le plus haut (0/1) (prendre le pgcd ne marche pas ici parceque pgcd(0,a)=a). Ceci nous donne la table suivante où nous avons compté toutes les fractions dans la ligne diagonale pour voir que <math>\mathbb{Q}\,</math> est infini dénombrable.
Now we only need to add zero to the matrix and we're finished. So we add a vertical row for zero and only write the topmost element in it (0/1) (taking gcd doesn't work here because gcd(0,a)=a) This leaves us with the following table where we have to count all fractions in the diagonal rows to see that Q is countably infinite.
:<math>\begin{matrix}\frac{0}{1} & \frac{1}{1} & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \cdots\\ & & \\ & \frac{2}{1} & & \frac{2}{3} & \cdots\\ & & \\ & \frac{3}{1} & \frac{3}{2} & & \cdots\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{matrix}</math>
2. ToPour showmontrer thatque <math> \infty \times \infty = \infty </math>, youvous havedevez tofaire make aune table where youvous putmettez oneun infinityinfini indans thela horizontalligne rowhorizontale andet oneun infinityinfini indans thela verticalligne rowverticale. NowMaintenant, youvous canpouvez startcommencer countingle thedénombrement numberdes ofplaces placedans in thela table diagonallyde justmanière likediagonale Qcomme nous l'avons wasfait countedpour <math>\mathbb{Q'}\,</math>. ThisCeci worksmarche because aparcequ'une table ofde sizetaille AxB containscontient A*B places.
 
===Exercices sur les limites===
===Are there even bigger infinities? exercises===
#You have to use a method to map the coordinates in a plain onto a point on the line and the other way around, like the one described in the text. This method shows you that for every number on the line there is a place on the plain and for every place on the plain there is a place on the line. Thus the number of points on the line and the plain are the same.
 
===Limits Infinity got rid of exercises===
#<math>\lim_{x \to \infty}\frac{3x^2 -4}{2x^2 +x} = \lim_{x \to \infty}(\frac{3x^2}{2x^2 +x} - \frac{4}{2x^2 +x}) = \lim_{x \to \infty}\frac{3x^2}{2x^2 +x} = \frac{3}{2}</math>
#<math>\lim_{x \to \infty}\frac{x^2 -1}{2x^3 +3} = 0</math>
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