« Approfondissements de lycée/SE Infini et processus infinis » : différence entre les versions
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3. Le cardinal des nombres pairs inférieurs à 100 n'est pas égal au cardinal des nombres naturels inférieurs à 100. Vous pouvez simplement écrire les deux et compter les nombres. Alors, vous verrez que le cardinal des nombres pairs inférieurs à 100 est 49 et que le cardinal des nombres naturels inférieurs à 100 est 99. Ainsi, l'ensemble des nombres naturels inférieur à 100 est plus grand que l'ensemble des nombres pairs inférieurs à 100. La grande différence entre ensembles finis et infinis est qu'un ensemble fini ne peut pas être mis en bijection avec n'importe lequel de ses sous-ensembles. Alors qu'un ensemble infini peut être mis en bijection avec au moins un de ses sous-ensembles.<br/>
4. Chaque partie de la somme est renseignée ci-dessous
:<
:Vous pouvez démontrer ceci en prenant un ensemble de cardinal 1, par exemple, un ensemble constitué seulement du nombre 0. Vous additionnez simplement cet ensemble avec l'ensemble dénombrable infini pour mettre l'ensemble infini et l'ensemble infini+1 en bijection.
::'''N''' '''N+1'''
:: 1 0
Ligne 27 :
:: 3 2
:: 4 3
:<
:Vous ajoutez simplement l'ensemble fini avec l'ensemble infini comme ci-dessus, à la différence que l'ensemble fini n'a pas besoin d'avoir le cardinal 1.
:<
:Vous prenez un article de chaque ensemble (infini ou C) alternativement, ceci fera une nouvelle liste infinie dénombrable également.
===
1.
:<math>\begin{matrix}\frac{1}{1} & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \cdots\\ & & \\\frac{2}{1} & & \frac{2}{3} & \cdots\\ & & \\\frac{3}{1} & \frac{3}{2} & & \cdots\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{matrix}</math>
Maintenant, nous avons seulement besoin d'ajouter zéro à la matrice et nous aurons terminé. Donc, nous ajoutons une ligne verticale pour zéro et nous écrivons l'élément le plus haut (0/1) (prendre le pgcd ne marche pas ici parceque pgcd(0,a)=a). Ceci nous donne la table suivante où nous avons compté toutes les fractions dans la ligne diagonale pour voir que <math>\mathbb{Q}\,</math> est infini dénombrable.
:<math>\begin{matrix}\frac{0}{1} & \frac{1}{1} & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \cdots\\ & & \\ & \frac{2}{1} & & \frac{2}{3} & \cdots\\ & & \\ & \frac{3}{1} & \frac{3}{2} & & \cdots\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{matrix}</math>
2.
===Exercices sur les limites===
#<math>\lim_{x \to \infty}\frac{3x^2 -4}{2x^2 +x} = \lim_{x \to \infty}(\frac{3x^2}{2x^2 +x} - \frac{4}{2x^2 +x}) = \lim_{x \to \infty}\frac{3x^2}{2x^2 +x} = \frac{3}{2}</math>
#<math>\lim_{x \to \infty}\frac{x^2 -1}{2x^3 +3} = 0</math>
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