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Fin de la traduction de l'article anglais
(Fin de la traduction de l'article anglais)
4. La somme de tous les angles d'un triangle est <math>180^\circ</math>; La somme de tous les angles d'un rectangle est <math>360^\circ</math>. Démontrer que la somme de tous les angles d'un polygone à ''n'' cotés, est <math>(n - 2)\cdot 180^\circ</math>.
 
==Démonstration par l'absurde==
==Proof by contradiction==
:''"WhenLorsque youvous haveavez eliminated theéliminé l'impossible, whatce everqu'il remainsreste, howevermême improbable must bedoit theêtre truthvrai." Sir Arthur Conan Doyle''
 
L'idée d'une démonstration par l'absurde est :
The idea of a proof by contradiction is to:
# Premièrement, nous supposons que l'''opposé'' de ce que nous souhaitons démontré est vrai.
# First, we assume that the ''opposite'' of what we wish to prove is true.
# ThenPuis, wenous showmontrons thatque theles logicalconséquences consequenceslogiques ofde thela assumptionsupposition includeamènent aà une contradiction.
# Finalement, nous concluons que la supposition devait être fausse.
#Finally, we conclude that the assumption must have been false.
 
=== IrrationalityIrrationalité ofde &radic;2 ===
AsComme an exampleexemple, wenous shalldémontrerons prove the irrationalityl'irrationalité ofde <math>\sqrt{2}</math>, i.e. <math>\sqrt{2}</math> isn'est notpas aun rationalnombre numberrationnel. RecallRappelons-nous thatqu'un anombre rationalrationnel numberest isun anombre numberqui whichpeut canêtre beexprimé expressedsous inla the form offorme p/q, where p andet q aresont integersdes andnombres entiers et q doesest notdifférent equalde 0 (seevoir thela 'categorizingsection numbers'catégories sectionde nombres' [[HSEAL ComplexNombres Numbercomplexes|hereici]]).
 
FirstD'abord, assumesupposons thatque <math>\sqrt{2}</math> isest ''rationalrationnel'' :<br>
:<math>
\sqrt{2} = \frac{a}{b}
</math><br>
where ''a'' andet ''b'' aresont coprimespremiers entre eux (i.e. bothles integersdeux withentiers non'on pas de facteurs commonen factorscommun). IfSi ''a'' andet ''b'' arene notsont coprimespas premiers entre eux, wenous removeenlevons alltous commonles factorsfacteurs communs. InEn otherd'autres wordsmots, ''a/b'' isest insous simplestla formforme irréductible. NowMaintenant, continuingcontinuons :
:<math>
\begin{matrix}
</math>
 
WeNous haveavons nowmaintenant foundtrouvé thatque ''a<sup>2</sup>'' isest someun integercertain multipliedentier bymultiplié twopar 2. ThereforePar conséquent, ''a<sup>2</sup>'' mustdoit beêtre divisible bypar two2. IfSi ''a<sup>2</sup>'' isest evenpair, then soalors ''a'' mustdoit alsoêtre beaussi evenpair, forpour anun oddnombre numberimpair squaredau yieldscarré, anun oddnombre numberimpair. NowMaintenant thatque wenous knowsavons thatque ''a'' isest evenpair, wenous writeécrivons thatque ''a = 2c'', where ''c'' isest un anotherautre integerentier.
 
:<math>
</math>
 
WeNous haveavons discovereddécouvert thatque ''b<sup>2</sup>'' isest alsoaussi anun integerentier multipliedmultiplié bypar two2. FollowingEn suivant thele aforementionedraisonnement reasoningprécédent, ''b'' mustdoit beêtre anun evenentier integerpair. HereIci, wenous haveavons aune contradiction. BothLes deux nombres entiers ''a'' andet ''b'' aresont even integerspair. InEn otherd'autres wordstermes, bothles havedeux theont commonun factorfacteur ofcommun 2. ButMais wenous alreadyavons saiddéjà thatdit que ''a/b'' isest insous simplestforme formirréductible. SincePuisqu'une such atelle contradiction hasa beenété establishedétablie, wenous mustdevons concludeconclure thatque ournotre originalsupposition assumptiond'origine wasétait falsefausse. ThereforePar conséquent, &radic;<math>\sqrt{2}</math> isest irrationalirrationel.
 
===InfinitudeInfinité ofde primesnombres premiers===
Nous avons déjà présenté une démonstration de l'infinité des nombres premiers dans le chapitre [[AL Premiers|Nombres premiers]]. En voici une autre.
We have already presented a proof of the inifinitude of prime in the [[HSE Primes|Primes and Modular Arithmetic]] chapter. Here is another one.
 
SupposeSupposons therequ'il existe areun anombre finitefini numberde ofnombres primespremiers, andet wenotons denotece thatnombre number bypar ''n''. WeNous multiplymultiplions theles ''n'' primesnombres togetherpremiers andensemble, nous addajoutons 1, andet callednous theappelons resultingle numbernombre qui en résulte ''x''. NowMaintenant, de façon clearlyclaire, ''x'' isest alsoaussi aun primenombre premier, sodonc thereil areexiste ''n'' + 1 primesnombres premiers ! ThisCeci isest aune contradiction, hencedonc il doit thereexister mustune beinfinité infinitelyde manynombres primespremiers.
 
Il existe plusieurs manières de démontrer le même théorème.
There are many ways to prove the same theorem.
 
=== ExercisesExercices ===
1.Prove thatDémontrer therequ'il isn'existe nopas perfectde squarecarré numberparfait forpour 11,111,1111,11111......
 
2. ProveDémontrer thatqu'il thereexiste areune infinitelyinfinité numberde ofnombre ''k'''s suchtels thatque, 4''k'' + 3, isest primepremier. (HintAstuce : considerconsidérer N = p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>m</sub> + 3)
 
== AxiomsAxiomes andet Inferenceinférence ==
Nous avons, il y a longtemps, admis pour vrai le fait que zéro fois n'importe quel nombre nous donne zéro. Personne ne nous l'a démontré. Ne vous êtes vous pas émerveillé pourquoi un nombre négatif multiplié par un nombre négatif vous donne un nombre positif ? Dans cette section, nous introduirons l'idée de mathématiques axiomatiques (mathématiques avec de simples suppositions) et les conclusions (inférences) que nous pouvons tirer à partir des axiomes.
We have, for too long, taken for granted the fact that zero times any number gives you zero. Nobody ever bothered to prove it. You never wondered why a negative number multiplied by a negative number gives you a positive number? In this section we introduce the idea of axiomatic mathematics (mathematics with simple assumptions) and the conclusions (inferences) we can draw from the axioms.
 
Un axiome est un énoncé à propos d'un ensemble de nombres que nous supposons vrai. Considérons les nombres réels <math>\mathbb{R}\,</math> , il possède les axiomes
An axiom is a statement about a number system that we assume to be true. Let's consider the Real numbers, it has axioms
LetSoient ''a'', ''b'' andet ''c'' bedes realnombres numbersréels
: ForPour ''a'', ''b'', andet ''c'' taken from the real numbersréels
:'''A1:''' ''a''+''b'' isest inaussi dans ''F'' also (''closureclotûre'')
:'''A2:''' ThereIl existexiste 0, suchtel thatque 0 + ''a'' = ''a'' forpour alltout ''a'' (existence ofde zerozéro - anune ''identityidentité'')
:'''A3:''' ForPour everychaque ''a'', thereil existexiste ''b'' (writtenécrit -''a''), suchtel thatque a + b = 0 (existence of an additived'un inverseopposé)
:'''A4:''' (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c'') (associativityassociativité ofde l'addition)
:'''A5:''' ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' (commutativitycommutativité ofde l'addition)
 
: ForPour ''a'', ''b'', andet ''c'' takenréels fromen theexcluant real numbers excluding zerozéro
:'''M1:''' ''ab'' (''closureclotûre'')
:'''M2:''' ThereIl existexiste anun elementélément, 1, suchtel thatque 1''a'' = ''a'' forpour alltout ''a'' (existence ofde oneun - anune ''identityidentité'')
:'''M3:''' ForPour everychaque ''a'' thereil existsexiste a ''b'' suchtel thatque ''ab'' = 1
:'''M4:''' (''ab'')''c'' = ''a''(''bc'') (associativityassociativité ofde la multiplication)
:'''M5:''' ''ab'' = ''ba'' (commutativitycommutativité ofde la multiplication)
 
:'''D1:''' ''a''(''b'' + ''c'') = ''ab'' + ''ac'' (distributivitydistributivité de la multiplication par rapport à l'addition)
 
TheseCeux-ci aresont theles axiomes ''minimums'' weque assumenous tosupposons bevrai truedans ince this systemsystème. TheseIls aresont ''minimum'' indans le sens que chaque thechose sensequi thatest everythingvraie elsedans thatce issystème truede aboutnombre thispeut numberêtre systemdérivé canà bepartir derivedde fromces thoseaxiomes axioms!
 
Considérons l'identité vraie suivante
Let's consider the following true identity
:(x + y)z = xz + yz
qui n'est pas inclue dans les axiomes, mais que nous pouvons démontrer en les utilisant.
which is not included in the axioms, but we can prove it using the axioms. We proceed:
:<math>
\begin{matrix}
(x + y)z & = & z(x + y) \ \mbox{bypar M5}\\
& = & zx + zy \ \mbox{bypar D1}\\
& = & xz + yz \ \mbox{bypar M5}\\
\end{matrix}
</math>
 
Avant d'aller plus loin, nous noterons que les nombres réels ne sont pas les seuls nombres qui satisfont ces axiomes ! Par exemple, les nombres rationnels les satisfont aussi. Ceci conduit au concept abstrait de ''corps''. En termes simples, un ''corps'' est un ensemble de nombres qui satisfait à tous ces axiomes. Définissons un ''corps'' avec plus d'attention :
Before we proceed any further, you will have notice that the real numbers are not the only numbers that satifies those axioms! For example the rational numbers also satify all the axioms. This leads to the abstract concept of a ''field''. In simple terms, a ''field'' is a number system that satisfies all those axiom. Let's define a ''field'' more carefully:
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted purple;">
AUn numberensemble systemde nombres, ''F'', isest aun ''fieldcorps'' ifs'il admet itles supportsopérations + andet &times;x operationstel suchque that:
: ForPour ''a'', ''b'', andet ''c'' takenissus fromde ''F''
:'''A1:''' ''a''+''b'' isest inaussi dans ''F'' also (''closurecloture'')
:'''A2:''' ThereIl existexiste 0, suchtel thatque 0 + ''a'' = ''a'' forpour alltout ''a'' (existence ofde zerozéro - anune ''identityidentité'')
:'''A3:''' ForPour everychaque ''a'', thereil existexiste ''b'' (writtenécrit -''a''), suchtel thatque a + b = 0 (existence of an additived'un inverseopposé)
:'''A4:''' (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c'') (associativityassociativité ofde l'addition)
:'''A5:''' ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' (commutativitycommutativité ofde l'addition)
 
: ForPour ''a'', ''b'', andet ''c'' takenissus fromde ''F'' withsans the zero removedzéro (sometimesquelquefois writtenécrit ''F''<sup>*</sup>)
:'''M1:''' ''ab'' (''closurecloture'')
:'''M2:''' ThereIl existexiste anun elementélément, 1, suchtel thatque 1''a'' = ''a'' forpour alltout ''a'' (existence of one - an ''identity'')
:'''M3:''' ForPour everychaque ''a'' thereil existsexiste aun ''b'' suchtel thatque ''ab'' = 1 (inverses)
:'''M4:''' (''ab'')''c'' = ''a''(''bc'') (associativityassociativité ofde la multiplication)
:'''M5:''' ''ab'' = ''ba'' (commutativitycommutativité ofde la multiplication)
 
:'''D1:''' ''a''(''b'' + ''c'') = ''ab'' + ''ac'' (distributivitydistributivité)
</blockquote>
 
NowMaintenant, forpour '''M3''', we do not let ''b'' bedoit zeroêtre différent de zéro, sincepuisque 1/0 hasn'a nopas meaningde sens. HoweverNéanmoins forpour theles axiomes ''M'' axioms, wenous avons exclu havezéro excludedde zerotoute anywayfaçon.
 
ForPour interestedles studentsétudiants intéressés, theles requirementsconcepts ofde ''closurecloture'', ''identityidentité'', havingavoir des ''inverses'' andet ''associativityassociativité'' ond'une anopération operationet andun aensemble setsont areconnus knowncomme as aun [[AbstractAlgèbre algebraabstraite:groupsgroupes|groupgroupe]]. IfSi ''F'' isest aun groupgroupe withmuni de l'addition andet ''F''<sup>*</sup> isest aun groupgroupe withmuni de la multiplication, plus thele concept de distributivityla requirementdistributivité, ''F'' isest aun fieldcorps. The above axiomsLes merelyaxiomes stateci-dessus thisétablissent factsimplement ince fullfait.
 
NoteNoter thatque thel'ensemble naturaldes numbersnombres arenaturels notn'est apas un fieldcorps, ascomme '''M5''' isn'est generalen notgénéral satifiedpas satisfait, i.e. notchaque everynombre naturalnaturel numbern'a has anpas d'inverse thatqui isest alsoaussi aun naturalnombre numbernaturel.
 
PleaseNoter noteaussi, alsos'il vous plaît, thatque (-''a'') denotes thereprésente l'inverse ofde ''a'', itcela doesn'tne signifie saypas thatque (-a) = (-1)(a), althoughbien weque cannous provepuissions thatdémontrer theyqu'ils aresont equivalentéquivalent.
 
'''ExampleExemple 1'''
 
ProveDémontrer usingen onlyutilisant theseulement axiomsles thataxiomes que 0 = -0, where -0 is the additiveest inversel'opposé ofde 0.
 
'''Solution 1'''
:0 = 0 + (-0) bypar '''A3 :''' existence ofde l'inverse
:0 = (-0) bypar '''A2 :''' 0 + a = a
 
'''ExampleExemple 2'''
 
LetSoit F, beun acorps field andet ''a'' anun elementélément ofde F. ProveDémontrer en n'utilisant usingrien nothingde moreplus thanque theles axiomsaxiomes thatque 0''a'' = 0 forpour alltout ''a''.
 
'''Solution'''
:0 = 0a + (-0a) bypar '''A3''' existence ofde l'inverse
:0 = (0 + 0)a + (-0a) bypar Examplel'exemple 1
:0 = (0a + 0a) + (-0a) bypar distributivitydistributivité andet commutativitycommutativité ofde la multiplication
:0 = 0a + (0a + (-0a)) bypar associativityassociativité ofde l'addition
:0 = 0a + 0 bypar '''A3'''
:0 = 0a bypar '''A2'''.
 
'''D'une manière différente'''
'''Alternatively'''
:0''a'' = ''a''(''x''+-''x'') forpour someun certain ''x'' inde ''F'', bypar '''A3'''
:: = ''ax''+-''ax'', bypar '''D1'''
:: = ''w''+-''w'', where ''w''=''ax'', bypar '''M1'''
:: = 0, bypar '''A3''.
 
'''ExampleExemple 3'''
 
ProveDémontrer thatque (-''a'') = (-1)''a''.
 
'''Solution 3'''
:(-a) = (-a) + 0
:(-a) = (-a) + 0a bypar Examplel'exemple 2
:(-a) = (-a) + (1 + (-1))a
:(-a) = (-a) + (1a + (-1)a)
:(-a) = (-1)a
 
On peut s'étonner pourquoi nous avons besoin de démontrer de telles choses évidentes (évidentes depuis le primaire). Mais l'idée n'est pas de démontrer qu'elles sont vraies, mais de pratiquer l'inférence, comment joindre logiquement des arguments pour démontrer un point. C'est une expérience vitale en mathématiques.
One wonders why we need to prove such obvious things (obvious since primary school). But the idea is not to prove that they are true, but to practise inferencing, how to logically join up arguments to prove a point. That is a vital skill in mathematics.
 
=== ExercisesExercices ===
1. ExplainExpliquer (orou provedémontrer) whypourquoi 1 &ne; 0 indans anytout fieldcorps
 
2. ProveDémontrer usingen onlyutilisant theseulement axiomsles ifaxiomes si u + v = u + w thenalors v = w (subtractingsoustraire u fromà partir bothdes sidesdeux iscotés notn'est acceptedpas asaccepté acomme solution)
 
3. ProveDémontrer thatque ifsi xy = 0 thenalors eithersoit x = 0 orou y = 0
 
4. InDans F<sub>-</sub>, the operationl'opération + isest defineddéfinie tocomme bela thedifférence differencede ofdeux twonombres numberset andl'opération thex &times;est operationdéfinie iscomme definedle torapport bede thedeux rationombres. of two numbersC. Ea.gd. 1 + 2 = -1, 5 + 3 = 2 andet 9&times; x 3 = 3, 5&times; x 2; = 2.,5. Is F<sub>-</sub> aest-il un corps field?
 
5. ExplainExpliquer whypourquoi Z<sub>6</sub> isn'est notpas aun fieldcorps.
 
== ProblemEnsemble Setde problèmes ==
1. Démontrer que
1. Prove
:<math>
\frac{1}{\sqrt 1} + \frac{1}{\sqrt 2} + ... + \frac{1}{\sqrt n }\ge \sqrt n
</math>
forpour <math>n\ge 1</math>
 
2. ProveDémontrer bypar induction thatque <math>2n^3 - 3n^2 + n + 31 \ge 0 </math>
 
3. ProveDémontrer bypar induction
:<math> {n \choose 0} + {n\choose 1} + {n\choose 2} + ... + {n\choose n} = 2^n</math>
where
:<math>{n \choose m} = \frac{n!}{m!(n-m)!} </math> andet <math>n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ... \cdot 2\cdot 1</math>if si <math>n\ge 1 \land 0! = 1</math>. (<math>\land = </math>logical andEt logique).
 
4. ProveDémontrer bypar induction <math> {n \choose 0} + 2{n\choose 1} + 2^2{n\choose 2} + ... + 2^n{n\choose n} = 3^n</math>
 
5. ProveDémontrer thatque ifsi x andet y aresont integersdes andentiers et n anun oddentier integerimpair thenalors <math>\frac{x^n + y^n}{x + y} </math> isest anun integerentier.
 
''ManyBeaucoup de questions indans otherd'autres chapterschapitres requirevous youdemandent tode provedémontrer things.des Be surechoses. toAssurez-vous tryd'essayer theles techniques discussedexposées indans thisce chapterchapitre.''
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