« Approfondissements de lycée/ES Premiers » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
Aucun résumé des modifications
 
Traduction de l'article anglais
Ligne 23 :
===Exercices sur le crible de nombres premiers===
 
#Utiliser le résultat ci-dessus pour éliminier rapidement les nombres qui doivent encore être rayés dans la table ci-dessous, sachant que 5 est le prochain nombre premier :
#Use the above result to quickly work out the numbers that still need to be crossed out in the table below, knowing 5 is the next prime:
 
:<math>
Ligne 35 :
</math>
 
:TheLe nextnombre primepremier numbersuivant isest 5. BecauseParceque 5 isest anun unmarkednombre primepremier numbernon marqué, andet que 5 * 5 = 25, cross outrayer 25. AlsoDe même, 7 isest anun unmarkednombre primepremier numbernon marqué, andet 5 * 7 = 35, sodonc cross offéliminer 35. HoweverNéanmoins, 5 * 11 = 55, whichest istrop too highhaut, sodonc markmarquer 5 as primecomme adpremier moveet onpasser toà 7. TheLe onlyseul numbernombre lowsuffisamment enoughbas topour beêtre markedenlevé off isest 7 * 7, whichqui equalsest 35égal à 49. YouVous ne pouvez canpas goaller noplus higherhaut.
 
2. Trouver tous les nombres premiers inférieurs à 200.
2. Find all primes below 200.
 
:La méthode précédente est trop longue. Tous les nombres premiers inférieurs à 200 sont :
:The method will not be outlined here, as it is too long. However, all primes below 200 are:
 
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
Ligne 47 :
179 181 191 193 197 199
 
===Exercices d'arithmétique modulaire===
===Modular Arithmetic Exercises===
 
#<math>(-1) \cdot (-5)\mod{11} = 5</math>alternatively de manière alternative, -1 = 10, -5 = 6: 10 &times;x 6 = 60 = 5&times x 11 + 5 = 5
#<math>3 \cdot 7 \mod{11} = 21 = 10</math>
#<math>2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16 = 5</math><br/><math> 2^5 = 32 = 10, 2^6 = 64 = 9, 2^7 = 128 = 7</math><br/><math> 2^8 = 256 = 3, 2^9 = 512 = 6, 2^{10} = 1024 = 1</math><br/>An easierUne liste plus facile list: 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1 <br/> Notice thatNoter itqu'il isn'est notpas necessarynécessaire tode acutallycalculer <br/>compute <math>2^{10}</math> topour findtrouver <math>2^{10}</math> mod 11. <br/>IfSi youvous knowconnaissez <math>2^9</math> mod 11 = 6. <br/>YouVous canpouvez findtrouver <math>2^{10}</math> mod 11 = (2*(<math>2^9</math> mod 11)) mod 11 = 2*6 mod 11 = 12 mod 11 = 1. <br/> WeNous canpouvons notenoter thatque 2<sup>9</sup> = 6 andet 2<sup>10</sup> = 1, wenous canpouvons calculatecalculer 6<sup>2</sup> easilyfacilement : 6<sup>2</sup> = 2<sup>18</sup> = 2^8 = 3. OROu bypar thela aboveméthode methodprécédente <br/><math>6^1 = 6, 6^2 = 36 = 3, 6^3 = 6*3 = 18 = 7, </math><br/><math>6^4 = 6*7 = 42 = 9, 6^5 = 6*9 = 54 = 10, 6^6 = 6*10 = 60 = 5, </math><br/><math>6^7 = 6*5 = 30 = 8, 6^8 = 6*8 = 48 = 4, 6^9 = 6*4 = 24 = 2, 6^{10} = 6*2 = 12 = 1.</math><br/>AnUne liste plus easierfacile list: 6, 3, 7, 9, 10, 5, 8, 4, 2, 1.
#0<sup>2</sup> = 0, 1<sup>2</sup> = 1, 2<sup>2</sup> = 4, 3<sup>2</sup> = 9,<br/> 4<sup>2</sup> = 16 = 5, 5<sup>2</sup> = 25 = 5, 6<sup>2</sup> = 36 = 3, 7<sup>2</sup> = 49 = 3,<br/> 8<sup>2</sup> = 64 = 5, 9<sup>2</sup> = 81 = 4, 10<sup>2</sup> = 100 = 1<br/>AnUne easierliste plus facile list: 0, 1, 4, 9, 5, 3, 3, 5, 9, 4, 1<br/>ThusAinsi<math>\sqrt{4}=2\mbox{ and }\sqrt{4}=9</math>
#x<sup>2</sup> = -2 = 9<br/>JustRegardez looksimplement atla theliste listci-dessus aboveet andvous you'llverrez seeque that<math>\sqrt{-2}=8\mbox{ andet }\sqrt{-2}=3</math>
 
===Exercices sur la division et les inverses===
===Division and Inverses Exercises===
 
1.
Ligne 63 :
:<math>x = 5^{-1} = 3</math>
:<math>x = 6^{-1} = 6</math>
:<math>x = 7^{-1} = 0^{-1}</math> thereforePar theconséquent, l'inverse doesn'existe not existpas
 
2. <math>x = \frac{28}{7} = 4 \ \ \mbox{(mod 29)}</math>
Ligne 495 :
</tr>
</table>
===Exercices sur les nombres premiers entre eux et PGDC===
===Coprime and greatest common divisor Exercises===
1.
:1.
::<table border="1" cellpadding="2">
<tr>
<th>smallerPlus petit</th> <th>largerPlus grand</th>
</tr>
<tr>
Ligne 512 :
</tr>
</table>
::5050 andet 5051 aresont coprimepremiers entre eux
:2.
::<table border="1" cellpadding="2">
<tr>
<th>smallerPlus petit</th> <th>largerPlus grand</th>
</tr>
<tr>
Ligne 534 :
</tr>
</table>
::59 andet 79 aresont coprimepremiers entre eux
:3.
::<table border="1" cellpadding="2">
<tr>
<th>smallerPlus petit</th> <th>largerPlus grand</th>
</tr>
<tr>
Ligne 553 :
</tr>
</table>
::111 andet 369 arene notsont coprimepas premiers entre eux
:4.
::<table border="1" cellpadding="2">
<tr>
<th>smallerPlus petit</th> <th>largerPlus grand</th>
</tr>
<tr>
Ligne 575 :
</tr>
</table>
::2021 andet 4032 aresont coprimepremiers entre eux
2.Nous calculerons d'abord le PGDC pour toutes les combinaisons
2.We first calculate the gcd for all combinations
<table border="1" cellpadding="2">
<tr>
<th>smallerPlus petit</th> <th>largerPlus grand</th>
</tr>
<tr>
Ligne 590 :
<table border="1" cellpadding="2">
<tr>
<th>smallerPlus petit</th> <th>largerPlus grand</th>
</tr>
<tr>
Ligne 601 :
<table border="1" cellpadding="2">
<tr>
<th>smallerPlus petit</th> <th>largerPlus grand</th>
</tr>
<tr>
Ligne 622 :
</tr>
</table>
:TheLe gcdPGDC forpour anytoute combinationcombinaison ofdes thenombres numbers isest 15 sodonc thele gcdPGDC isest 15 forpour theles threetrois numbersnombres.