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Le '''théorème de d'Alembert-Gauss''', simplement appelé '''théorème de d'Alembert''' ou encore '''théorème fondamental de l'[[algèbre]]''', s'énonce de la façon suivante :
 
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Une preuve très concise repose sur le [[théorème de Liouville (variable complexe)|théorème de Liouville]] en [[analyse complexe]].
À cet effet, on considère un polynôme ''P'' à coefficients complexes, de degré au moins égal à 1. On suppose qu'il n'a aucune racine : dès lors, la fonction rationnelle 1 / ''P'' est [[fonction entière| entière]] et bornée (car elle tend vers 0 à l'infini) ; du théorème de Liouville, on déduit qu'elle est constante, ce qui contredit l'hypothèse sur le degré, et prouve ainsi par l'absurde l'existence d'au moins une racine de ''P''.
 
== Autre démonstration ==
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* [[Équation du second degré]]
* [[Théorème de Gauss]]
* Il existe une preuve presque purement algébrique du théorème fondamental de l'algèbre, valable dans tout [[corps réel clos]] (elle utilise seulement le fait, découlant du théorème des valeurs intermédiaires, que tout polynôme à coefficients réels et de degré impair possède une racine réelle). Voir Alain Bouvier & Denis Richard, Editeur Hermann, ISBN 27056138382-7056-1383-8 (Ouvrage épuisé).
 
== Bibliographie ==