« Mathématiques niveau seconde/Calculs » : différence entre les versions

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Robot : Changement de type cosmétique
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==== Les rationnels ====
L'ensemble de toutes les fractions du type <math>\frac{a}{b}</math> où <math>a</math> et <math>b</math> sont des entiers relatifs,<math> b </math> étant non nul s'appelle l'ensemble des nombres rationnels. Il est noté <math>\mathbb{Q}</math>.
 
Par exemple <math>\frac{4}{3}, \frac{10}{3}, \frac{-8}{11}</math> sont des éléments de <math>\mathbb{Q}</math>.
Et dans l'autre sens :
* <math>\mathbb{Z}\not\subset \mathbb{N}</math>,
* <math>\mathbb{D}\not\subset \mathbb{N}</math>,
* <math>\mathbb{Q}\not\subset \mathbb{N}</math>,
* <math>\mathbb{R}\not\subset \mathbb{N}</math>.
* <math>\mathbb{D}\not\subset \mathbb{Z}</math>,
* <math>\mathbb{Q}\not\subset \mathbb{Z}</math>,
* <math>\mathbb{R}\not\subset \mathbb{Z}</math>.
* etc.
 
Pour montrer que deux ensembles ''différents'' sont égaux, il faut qu'ils puissent s'inclurent mutuellement :
* <math>Ensemble 1 \subset Ensemble 2 </math>, et
<math>Ensemble 2 \subset Ensemble 1 </math>.
 
Imaginons qu'on mesure ce cube avec un microscope électronique (précis au minimum au µm (<math>10^{-6}</math> m)). Si l'on dit, grâce à la mesure au microscope électronique, que le cube fait 10cm de côté, en réalité, on déclare implicitement : "Le cube que nous avons mesuré a une longueur de côté comprise entre 10cm - 0,000001m et 10cm + 0,000001m, c'est à dire entre 9.9999cm et 10.0001cm".
 
Si l'on mesure ce même cube avec une règle d'écolier, et qu'on déclare "Le cube fait 10cm de côté", on est exact uniquement à l'unité de mesure de notre règle... Donc beaucoup moins précis qu'avec un microscope électronique. On déclare en fait implicitement "Le cube que nous avons mesuré a une longueur de côté comprise entre 10cm - 1mm et 10cm + 1mm, c'est à dire entre 9.9cm et 10.1cm". C'"est déjà nettement moins précis, mais cependant suffisant dans la plupart des cas.
 
Si l'on mesure maintenant ce même cube (décidément !) avec une vieille règle usée, dont on n'arrive plus à lire les petites graduations, mais uniquement les cm. Si l'on déclare une fois encore "Le cube fait 10cm de côté", on est exact uniquement au cm ! On déclare donc cette fois implicitement "Le cube que nous avons mesuré a une longueur de côté comprise entre 10cm - 1cm et 10cm + 1cm, c'est à dire entre 9 cm et 11 cm". Dans ce cas, la précision est à priori insuffisante.
 
On voit bien à travers cet exemple du cube de 10 cm de côté que définir la longueur théorique (mathématique), la longueur 'aussi précise que possible' (avec le microscope électronique), la longueur 'en pratique' (avec la règle d'écolier) est en réalité intrinsèquement lié au mode de mesure.
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