« Approfondissements de lycée/Probabilité discrète » : différence entre les versions
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Ligne 21 :
:P(A) = 0,6.
Un autre exemple: un dé honnête amènera 1, 2, 3, 4, 5 et 6 avec les mêmes chances à chaque fois qu'il sera lancé.
:P(B) = 1/6
Ligne 31 :
=== Événements impossible et certain ===
Il existe deux événements particuliers. Le premier est l'événement impossible
:P(événement impossible) = 0
:P(événement certain) = 1
Ligne 37 :
Les éléments précédents confirment une propriété très importante des probabilités: les probabilités sont comprises entre 0 et 1. Ainsi, on ne peut jamais trouver un évènement de probabilité 2,5! Il faut donc retenir que
:<math>0 \leq P(E) \leq 1</math>
pour tous les événements
=== Évènements ===
Ligne 59 :
Le diagramme de Venn ci-dessous devrait clarifier la situation,
::[[
Il faut voir le carré bleu comme la probabilité de ''B'' et le jaune la probabilité de ''A''. Ces deux probabilités se chevauchent, ce qui représente la probabilité de ''A et B''. Ainsi, la probabilité de ''A ou B'' doit être:
:<math>P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)</math>.
Ligne 66 :
:<math>P(A \cap B) = 0</math>
alors ''A'' et ''B'' sont dits '''disjoints'''. Pour deux évènements disjoints, la diagramme de Venn devient:
::[[
'''info -- Diagramme de Venn'''
Ligne 86 :
==== Ajouter des probabilités ====
Les probabilités sont ajoutées ensemble lorsque un événement peut survenir de plusieurs "façons".
:P(obtenir un nombre impair) = P(obtenir un 1) + P(obtenir un 3) + P(obtenir un 5) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 = 50%
Remarquons que la somme des probabilités est souvent associée à l'opération logique ''ou''. Lorsque qu'on précise qu'un événement ''E'' est équivalent aux événements ''X, Y'', '''or''' ''Z'', on utilise l'addition pour combiner les probabilités.
Ligne 93 :
==== Multiplier les probabilités ====
Les probabilités sont multipliées ensemble lorsqu'un événement se réalise en plusieurs "étapes". Par exemple, on jette un dé équilibré deux fois. La probabilité d'obtenir deux 6 est calculée en multipliant les probabilités associées aux événements individuels constitutifs. Intuitivement, la première étape est le premier lancer et
:P(obtenir deux 6 ) = P(obtenir 6 au 1{{er}} lancer)<math>\times</math>P(obtenir un 6 au 2{{e}} tirage) = <math>\frac{1}{6}\times\frac{1}{6}</math> = 1/36 <math>\approx</math> 2,8%
Comme pour le cas de l'addition, la multiplication de probabilités est associée à une opération logique, à savoir le '''et'''. Lorsque l'événement ''E'' est équivalent à '''tous''' les événements ''X, Y'', '''et''' ''Z'', on utilise la multiplication pour combiner les probabilités (à la seule conditions que les '''événements soient indépendants deux à deux''').
Ligne 113 :
3. On tire une carte dans un jeu de 52. Quelle est la probabilité de choisir un carreau ?
4. Un dé est lancé et une carte est tirée au sort. Quelle est la probabilité d'obtenir un 4 '''et''' un as de de trèfle, c'est-à-dire calculer ''P(A = 4)
5. Deux dés sont lancés. Quelle est la probabilité d'obtenir un 1 suivi d'un 3 ?
Ligne 133 :
2. P(A = 2) + P(A = 3) + P(A = 5) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2
3. P(B = As de carreau) + ... + P(B = Roi de carreau) = 13
4. P(A = 4)
5. P(A = 1)
6. P(A = 1)
7. Il y a ici plusieurs possibilités: 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4 = 7. La probabilité d'obtenir chacune des possibilités est 1/18 comme dans Q6. Il y a trois de ces combinaisons, d'où la probabilité est 3
9. Puisque que les deux dés sont équilibrés, C > A est tout aussi probable que C < A. Ainsi
Ligne 372 :
:<math>E(G) = 3 \times E(U) - 4 = 3 \times \frac{7}{2} - 4 = \frac{13}{2} = 7,5.</math>
</blockquote>
[[Catégorie:Approfondissements de lycée (livre)]]
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