« Approfondissements de lycée/Nombres complexes » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
m Robot : Changement de type cosmétique |
|||
Ligne 383 :
<math>\mathbb{C}</math> muni de l'addition et de la multiplication définis ci-dessus forme un corps commutatif, le '''corps des nombres complexes'''.
=== En présentation vectorielle cartésienne
Il est possible d'identifier le couple ( ''x'', ''y'' ) des [[coordonnées cartésiennes]] d'un point ''M'' du plan ou du vecteur <math> .^{\overrightarrow{._{OM}}} \,</math> au nombre complexe ''x'' + '''i''' ''y'' appelé alors '''affixe''' du point ''M'' ou du vecteur <math> .^{\overrightarrow{._{OM}}} \,</math>, et noté « ( ''x'', ''y'' ) » (notation vectorielle cartésienne).
Ligne 390 :
l'affixe de la multiplication d'un vecteur par un scalaire (réel) est alors le produit de l'affixe de ce vecteur par le scalaire.
En fait, il existe un isomorphisme canonique entre <math>\mathbb{C}</math>
( <math>\mathbb{C}</math>, +, . ) est donc un espace vectoriel de dimension deux sur <math>\mathbb{R}</math>. Cela permet de représenter <math>\mathbb{C}</math> par un plan muni de deux axes : l'axe <math>\mathbb{R}</math> des nombres réels et l'axe '''i'''<math>\mathbb{R}</math>
Il est possible d'étendre la multiplication par un scalaire au produit de deux affixes. Nous verrons plus loin quel sens concret donner à ce produit.
Ligne 404 :
Nous pouvons remarquer que ( 0, 1 ).( 0, 1 ) = ( -1, 0 ) = -1. En fait, ( 0, 1 ) = '''i'''.
=== En présentation vectorielle polaire
Pour trouver le lien entre coordonnées cartésiennes et polaires, il suffit de tracer le triangle rectangle dont ''OM'' est l'hypothènuse et les deux autres côtés sont parallèles aux axes du repère. Ces deux côtés ont justement pour longueur les coordonnées cartésiennes de ''M'', d'où (théorème de Pythagore) :
Ligne 430 :
Au vu de la complexité de la formule d'addition ci-dessus, on comprend pourquoi les additions se font exclusivement en coordonnées cartésiennes ! Par contre, les multiplications sont plus simples en coordonnées polaires. Il faut donc savoir passer facilement d'une forme à l'autre suivant les circonstances, d'où l'importance des formules de passage précédentes.
=== En présentation trigonométrique
Si nous appliquons la formule de passage à la forme algébrique, nous obtenons la présentation trigonométrique :
Ligne 442 :
=== En présentation géométrique
==== Introduction ====
Ligne 489 :
Là encore, on constate qu'il vaut mieux utiliser la notation algébrique pour les additions et la notation géométrique pour les multiplications.
== En présentation matricielle
Nous avons vu que le produit de deux nombres complexes pouvait se mettre par exemple sous la forme
Ligne 581 :
<math> z^n=1</math>
<br />
<math>1=e^{2ik\pi+2k\pi}</math>
<br />
Donc <math>z_k=e^{\frac{2ik\pi}{n}+\frac{2k\pi}{n}}</math> avec <math>k=\{0,1,2,3,...,n-1\}</math>
| |||