« Approfondissements de lycée/Nombres complexes » : différence entre les versions

m
Robot : Changement de type cosmétique
m (Robot : Changement de type cosmétique)
<math>\mathbb{C}</math> muni de l'addition et de la multiplication définis ci-dessus forme un corps commutatif, le '''corps des nombres complexes'''.
 
=== En présentation vectorielle cartésienne <math> z = ( x , y ) \,</math> ===
 
Il est possible d'identifier le couple ( ''x'', ''y'' ) des [[coordonnées cartésiennes]] d'un point ''M'' du plan ou du vecteur <math> .^{\overrightarrow{._{OM}}} \,</math> &nbsp; au nombre complexe ''x'' + '''i''' ''y'' appelé alors '''affixe''' du point ''M'' ou du vecteur <math> .^{\overrightarrow{._{OM}}} \,</math>, et noté « ( ''x'', ''y'' ) » (notation vectorielle cartésienne).
l'affixe de la multiplication d'un vecteur par un scalaire (réel) est alors le produit de l'affixe de ce vecteur par le scalaire.
 
En fait, il existe un isomorphisme canonique entre <math>\mathbb{C}</math> muni de l'addition et de la multiplication par un scalaire réel et le plan vectoriel réel.
 
( <math>\mathbb{C}</math>, +, . ) est donc un espace vectoriel de dimension deux sur <math>\mathbb{R}</math>. Cela permet de représenter <math>\mathbb{C}</math> par un plan muni de deux axes : l'axe &nbsp;<math>\mathbb{R}</math> des nombres réels et l'axe &nbsp;'''i'''<math>\mathbb{R}</math> des nombres '''imaginaires purs'''.
 
Il est possible d'étendre la multiplication par un scalaire au produit de deux affixes. Nous verrons plus loin quel sens concret donner à ce produit.
Nous pouvons remarquer que ( 0, 1 ).( 0, 1 ) = ( -1, 0 ) = -1. &nbsp; En fait, ( 0, 1 ) = '''i'''.
 
=== En présentation vectorielle polaire <math> z = ( \rho , \theta ) = \rho_\angle \theta \,</math> ===
 
Pour trouver le lien entre coordonnées cartésiennes et polaires, il suffit de tracer le triangle rectangle dont ''OM'' est l'hypothènuse et les deux autres côtés sont parallèles aux axes du repère. Ces deux côtés ont justement pour longueur les coordonnées cartésiennes de ''M'', d'où (théorème de Pythagore) :
Au vu de la complexité de la formule d'addition ci-dessus, on comprend pourquoi les additions se font exclusivement en coordonnées cartésiennes ! Par contre, les multiplications sont plus simples en coordonnées polaires. Il faut donc savoir passer facilement d'une forme à l'autre suivant les circonstances, d'où l'importance des formules de passage précédentes.
 
=== En présentation trigonométrique <math> z = \rho . ( cos \theta + i . sin \theta ) \,</math> ===
 
Si nous appliquons la formule de passage à la forme algébrique, nous obtenons la présentation trigonométrique :
 
 
=== En présentation géométrique <math> z = \rho.e^{i\theta} \,</math> ===
 
==== Introduction ====
Là encore, on constate qu'il vaut mieux utiliser la notation algébrique pour les additions et la notation géométrique pour les multiplications.
 
== En présentation matricielle <math> Z = \begin{bmatrix} x & -y \\ y & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \rho & 0 \\ 0 & \rho \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} cos \theta & - sin \theta \\ sin \theta & cos \theta \end{bmatrix} \,</math> ===
 
Nous avons vu que le produit de deux nombres complexes pouvait se mettre par exemple sous la forme
 
<math> z^n=1</math>
<br />
<math>1=e^{2ik\pi+2k\pi}</math>
<br />
Donc <math>z_k=e^{\frac{2ik\pi}{n}+\frac{2k\pi}{n}}</math> avec <math>k=\{0,1,2,3,...,n-1\}</math>
 
12 783

modifications