« Calcul écrit/Calcul de la racine quatrième d'un nombre » : différence entre les versions

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La justification viendra ensuite.
 
Soit donc à extraire la racine quatrième approchée à une unité près par défaut de l'entier 218.889.236.736218889236736 (racinenombre que l'on sait à priori être la quatrième puissance de 684).
 
On dispose les calculs comme pour une division ordinaire, le nombre précédent prenant la place occupée généralement par le dividende, le résultat venant s'inscrire progressivement à la place du diviseur et les calculs auxiliaires à la place du quotient.
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Les différentes étapes du calcul à effectuer sont les suivantes:
 
'''A)''' On commence par séparer le nombre 218.889.236.736218889236736 en tranches de quatre chiffres comme ceci 2188.8923.6736, en partant de la virgule, vers la gauche et vers la droite, la tranche la plus à gauche pouvant donc contenir 1, 2, 3 ou 4 chiffres (ici 4).
 
'''B)''' On cherche la racine quatrième approchée à une unité près par défaut de la tranche la plus à gauche (ici 2.1882188). Cette racine quatrième est 6 ('''premier résultat partiel de la racine cherchée''') (car 6<sup>4</sup> = 1.2961296 <math>\le</math> 2.1882188 < 2.401 = 7<sup>4</sup>). On place ce '''premier résultat partiel de la racine cherchée''' à l'endroit habituellement réservé pour le diviseur, puis on retranche sa quatrième puissance (6 fois 6 fois 6 fois 6 donc 1.2961296) à la première tranche à gauche (2.1882188 donc). Le résultat 892 ('''premier reste partiel''') s'inscrit à l'emplacement qui lui est réservé et tel qu'il apparaît dans l'exemple.
 
'''C)''' On "abaisse" la tranche "suivante" (8.9238923 donc) à droite de ce '''premier reste partiel''' (892) de façon à former le nombre 8.928.9238928923
 
'''D)''' Pour trouver le chiffre suivant du résultat, on cherche le quotient de la division entière du résultat précédent (8.928.9238928923 donc) par le ''quadruple du cube du décuple du résultat partiel'' déjà obtenu de la racine, donc par 864.000864000 (4 fois le cube de 60). Ce quotient est 10 (car 8.928.9238928923 / 864.000864000 = 10,33...) et il est trop fort à priori puisque l'on sait que le deuxième chiffre à trouver ne peut dépasser 9 et est un 8, le résultat annoncé précédemment étant 684. (Les calculs nécessaires pour prouver que 9 est trop fort, fourniraient le résultat 9.707.1219707121 au lieu de 8.421.3768421376 (voir ci-dessous le '''E)''') et ce résultat 9.707.1219707121 conduirait à une soustraction impossible et ces calculs sont laissés aux lecteurs courageux).
 
'''E)''' Ceci fait,
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on ajoute :
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;le ''quadruple du cube du décuple du résultat partiel''' déjà obtenu de la racine (4 fois le cube de 60, soit 864.000864000 déjà calculé)
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;le ''sextuple du produit du carré du décuple du résultat partiel par le chiffre 8 à essayer''' et obtenu en D) (6 fois le produit du carré de 60 par 8, soit 172.800172800)
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;le ''quadruple du produit du décuple du résultat partiel par le carré du chiffre 8 à essayer''' (4 fois le produit de 60 par le carré de 8, soit 15.36015360)
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;''le cube du chiffre 8 à essayer'' (le cube de 8, soit 512)
 
puis on multiplie la somme (1.052.6721052672) par le chiffre 8 à essayer, ce qui donne 8.421.3768421376 que l'on retranche à gauche au nombre 8.928.9238928923, ce qui conduit à inscrire au dessous le nombre 507.547507547 ('''deuxième reste partiel'''). On place alors le chiffre 8 que l'on vient d'essayer et qui a conduit à une soustraction possible, à droite du chiffre 6 ('''premier résultat partiel de la racine cherchée''') ce qui donne le '''deuxième résultat partiel de la racine cherchée''', soit 68
 
'''C bis)''' On "abaisse" la tranche "suivante" (6.7366736 donc) à droite de ce '''deuxième reste partiel''' (507.547507547) de façon à former le nombre 5.075.476.7365075476736 et on recommence comme en D).
 
'''D bis)''' Pour trouver le chiffre suivant du résultat, on cherche le quotient de la division entière du résultat précédent (5.075.476.7365075476736 donc) par le ''quadruple du cube du décuple du résultat partiel'' déjà obtenu de la racine, donc par 1.257.728.0001257728000 (4 fois le cube de 680). Ce quotient est 4 (car 5.075.476.7365075476736 / 1.257.728.0001257728000 = 4,03 ...) et il convient comme le montre les calculs suivants : En effet :
 
'''E bis)''' Ceci fait,
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on ajoute :
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;le ''quadruple du cube du décuple du résultat partiel''' déjà obtenu de la racine (4 fois le cube de 680, soit 1.257.728.0001257728000 déjà calculé)
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;le ''sextuple du produit du carré du décuple du résultat partiel par le chiffre 4 à essayer''' et obtenu en D bis) (6 fois le produit du carré de 680 par 4, soit 11.097.60011097600)
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;le ''quadruple du produit du décuple du résultat partiel par le carré du chiffre 4 à essayer''' (4 fois le produit de 680 par le carré de 4, soit 43.52043520)
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;''le cube du chiffre 4 à essayer'' (le cube de 4, soit 64)
 
puis on multiplie la somme (1.268.869.1841268869184) par le chiffre 4 à essayer, ce qui donne 5.075.476.7365075476736 que l'on retranche à gauche au nombre 5.075.476.7365075476736, ce qui conduit à inscrire au dessous le nombre 0 ('''deuxième reste partiel'''). On place alors le chiffre 4 que l'on vient d'essayer et qui a conduit à une soustraction possible, à droite du nombre 68 ('''deuxième résultat partiel de la racine cherchée''') ce qui donne le '''troisième résultat partiel de la racine cherchée''', soit 684 qui est d'ailleurs la racine cubique exacte puisque le reste est égal à 0.