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ajout du critère "répétition ou pas" et quelques ajouts pour compléter
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(ajout du critère "répétition ou pas" et quelques ajouts pour compléter)
 
== Dénombrement ==
Le dénombrement est aussi connu sous le nom d'''analyse combinatoire''; c'est une branche des mathématiques qui vise à compter les éléments dans des ensembles finis. Elle est popularisée au 17{{e}} siècle en Occident par Pascal (1623-1662) et Fermat (1601-1665). Elle avait alors pour objet la résolution des problèmes de dénombrement, provenant de l'étude des jeux de hasard. Elle était déjà utilisée avant dans le monde Arabe et en Chine.
Nous savons comment compter de manière séquentielle, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... Donc, lorsque nous demandons une question comme :
 
Cette discipline permet d'aborder le genre de problème suivant. Nous savons comment compter de manière séquentielle,: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... Donc,Mais lorsquecombien nousy-a-t-il demandonsde unesolutions questiondifférentes commeà l'équation :
:x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub> + x<sub>3</sub> = 8
où x<sub>n</sub> est un nombre entier positif (zéro y compris). La réponse naturelle serait d'écrire chaque solution unique et compter combien il en existe. Cette méthode marchera éventuellement mais elle est lente et fastidieuse. Existe-t'il une meilleure méthode plus efficiente ? La réponse est naturellement oui. Avant d'aller plus avant, revenons aux bases d'abord.
:où x<sub>n</sub> est zéro ou un nombre entier positif. Combien de solutions différentes existe-t'il ?
 
La réponse naturelle serait d'écrire chaque solution unique et compter combien il en existe. Cette méthode marchera éventuellement mais elle est lente et fastidieuse. Existe-t'il une meilleure méthode plus efficiente ? La réponse est naturellement oui. Avant d'aller plus avant, revenons aux bases d'abord.
Ces dernières envisagent quelques situations courantes; le but du jeu étant de s'y ramener. Le dénombrement devient une discipline assez abordable du moment qu'on se dote de la bonne grille de lecture. Il suffit en effet de se poser deux questions:
* y-a-t-il des répétitions ?
* y-a-t-il un ordre.
 
=== Liste ordonnée avec répétition ===
 
Le code confidentiel de carte bleu est un nombre à quatre chiffres. Les chiffres peuvent être répétés. Combien y-a-t-il de codes différents ?
 
Pour avoir la solution, il suffit d'appliquer le principe multplicatif:
* il y a 10 possibilités (0-9) pour le 1{{er}} chiffre;
* il y a encore 10 autres possibilités pour le 2{{e}} chiffre;
* de même pour l'avant-dernier et le dernier chiffre.
Il y a donc en tout <math> 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4</math> possibilités.
 
Du point de vue mathématique, construire une liste ordonnée de ''p'' éléments choisis dans un ensemble de ''n'' éléments conduit à <math>n^p</math> possibilités.
 
=== Sélection ordonnée ou liste ordonnée sans répétition ===
Supposons qu'il y a 20 chansons dans votre collection de Mp3. Vous demandez à votre micro de sélectionner aléatoirement 10 chansons et de les jouer dans l'ordre où elles sont sélectionnées, combien de manières y-a-t'il de sélectionner les 10 chansons ? Ce type de problèmes est appelé dénombrement de sélection ordonnée, puisque l'ordre dans lequel les choses sont sélectionnées est important. C.a.d. si une sélection est
:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 10
Ici, nous utilisons la fonction ''factorielle'', définie par <math>0! = 1</math> et <math>n! = (n-1)! \times n</math>. (En d'autres mots, <math>n! = 1 \times 2 \times 3 \times ... \times n</math>)
 
En général, le nombre de sélections ordonnées et sans répétition de ''m'' articles sur ''n'' articles est :
:<math>\frac{n!}{(n-m)!}</math>
L'idée est que nous annulons les annulons tous, sauf les ''m'' premiers facteurs du produit ''n'' !.
 
Un cas particulier est de sélectionner une liste ordonnée de ''n'' éléments parmis ''n'' éléments. Il y a ''n'' façons de choisir le premier élément, ''n-1'' pour le second, ..., 2 pour l'avant-dernier et puis 1 seul pour le dernier. Cela fait en tout ''n!'', ce qui est confirmer par la formule précédente, où on a pris ''m=n''. On parle alors de ''permutations''.
=== Sélection non-ordonnée ===
 
Sur 15 personnes de votre classe de mathématiques, cinq ont été choisies pour représenter la classe dans une compétition de mathématiques. Combien y a-t'il de manières de choisir les cinq étudiants ? Ce problème est appelé un problème de sélection non-ordonnée, i.e. l'ordre dans lequel vous sélectionnez les étudiants n'est ''pas'' important. C.a.d. si une sélection est
=== Sélection non-ordonnée sans répétition ===
Sur 15 personnes de votre classe de mathématiques, cinq ont été choisies pour représenter la classe dans une compétition de mathématiques. Il ne peut bien-sûr pas avoir de répétitions. Combien y a-t'il de manières de choisir les cinq étudiants ? Ce problème est appelé un problème de sélection non-ordonnée sans répétition, i.e. l'ordre dans lequel vous sélectionnez les étudiants n'est ''pas'' important. C.a.d. si une sélection est
:Jean, Luc, Sylvie, Barbara, Jacques
une autre sélection équivalente est
:Luc, Jean, Sylvie, Jacques, Barbara.
les deux sélections sont considérées équivalentes.
 
Il existe
Il existe 8 carreaux dans un jeu de 32 cartes. Donc, il existe <math>8 \choose 5</math> manières.
:<math> {8 \choose 5} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8\times 7\times 6}{6} = 56 </math>
 
 
=== Tableau récapitulatif ===
 
Le tableau suivant fait le point sur les différents cas. On remarquera que nous n'avons pas traité le cas "avec remise et non ordonné".
 
 
{| class="wikitable"
! Tirages
! Ordonné
! Non ordonné
|-----
| Sans remise
| <math>A_n^p</math>
| <math>C_n^p</math>
|-----
! Avec remise
! <math>B_n^p</math>
! <math>\blacksquare</math>
|}
 
 
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