« Approfondissements de lycée/Probabilité discrète » : différence entre les versions

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les moments
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exercices et moments
Ligne 297 :
:<math>B \sim \mathcal{B}(p) </math>
 
La loi de probabilité est donc <math>X(\Omega) = \{0 ;1\}</math> avec ''P(X=1) = p'' et ''P(X=0) = q = 1 - p''. L'espérance est ''p × 1 + q × 0 = p'' et la variance ''p × (1-p)² + q × (0-p)² = pq''.
Par exemple, si
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted purple;">
'''Exemple''': soit
:<math>C \sim \mathcal{B}(0,65) </math>
alors
Ligne 303 ⟶ 306 :
et
:P(C = 0) = 1 - 0,65 = 0,35.
L'espérance est ''0,65 × 1 + 0,35 × 0 = 0,65'', ce qui est bien ''p''. La variance se calcule ainsi <math>V(X) = 0,65 × (1 - 0,65)^2 + 0,35 × (0 - 0,65)^2 = 0,2275</math> qui est bien égal à ''pq''.
</blockquote>
 
 
=== Distribution Binomiale ===
Ligne 351 ⟶ 357 :
alors
:<math>P(B = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}</math>
Ceci est le ''k''é{{e}} terme dans le développement de (''p'' + ''q'')<sup>n</sup>, où ''q = 1 - p''. L'espèrance est ''np'' et la variance ''npq''.
 
=== La distribution uniforme. ===
Après la distribution binomiale, c'est une autre distribution très utile. C'est elle qui sert à modèliser des situations très courantes: pile ou face, jet de dé, etc.
 
La loi uniforme sur ''[1;n] = {1 ; 2 ; ... ; n }'', notée <math>\mathbb{U}([1;n])</math>, associe la même probabilité à chacun des événements de <math>X(\Omega)</math>; ceci explique le terme '''uniforme'''. Ainsi, si <math>X \sim \mathbb{U}([1;n])</math>, alors pour tout ''i'' de ''[1 ; n]'', on a
:<math> P(X=i) = \frac{1}{n}.</math>
 
La fonction de répartition de la loi uniforme est une fonction en escalier régulière (à chaque saut, on ajoute ''1/n''). L'espérance de ''X'' est la moyenne des extrémités de ''[1;n]'', à savoir ''(n+1)/2''. La variance est
:<math>V(X) = \frac{n^2 -1}{12}</math>
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted purple;">
'''Exemple''': en guise d'exemple final, on considère le jeu de dé suivant: on tire un dé, et on gagne 3 fois le nombre sorti. Il faut débourser 4 € pour pourvoir jouer. Quel est le gain moyen ?
 
 
On note ''U'' la face sortie lors du tirage et ''G'' le gain. On a évidemment ''G = 3 × U - 4''; pour calculer ''E(G)'', il faut commencer par calculer ''E(U)''. Or, on sait que <math>U \sim \mathbb{U} ([1;6])</math> d'où ''E(U) = (1+6)/2''. On en déduit par la linéarité de l'espérance
== Aires et probabilité ==
:<math>E(G) = 3 × E(U) - 4 = 3 × \frac{7}{2} - 4 = \frac{13}{2} = 7,5.</math>
La distribution uniforme.
</blockquote>