« Approfondissements de lycée/Probabilité discrète » : différence entre les versions
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== Variables aléatoires ==
=== Définitions et Notation ===
Une ''expérience aléatoire'', telle que ''lancer un dé'' ou ''tirer à pile ou face'', est un processus qui produit un résultat incertain. Nous imposons aussi que les expériences puissent être reproduites facilement. Dans cette section, on note à l'aide d'une lettre capitale le résultat d'une expérience aléatoire. Par exemple, soit ''D'' le résultat d'un lancé de dé; ''D'' peut prendre les valeurs 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, mais avec incertitude. On dira que ''D'' est une ''variable aléatoire''. Supposons maintenant qu'on lance un dé et qu'il apparaisse un 5, on dit que la ''valeur observée'' de ''D'' est 5.
Une variable aléatoire est simplement le résultat (numérique) d'une certaine expérience aléatoire.
* le revenu d'un agriculteur dépend de caractères déterministes (usage d'engrais ou pas, de machines agricoles, etc.) mais est aussi soumis au hasard (météo);
* le gain algébrisé (donc potentiellement négatif) d'un joueur de jeux au hasard (loto, roulette, etc.) dépend évidemment du hasard.
Une variable aléatoire est généralement notée par une lettre CAPITALE, contrairement à une valeur observée. Par exemple, soit
:<math>D_1, D_2, ..., D_n</math>
les résultats de ''n'' lancers de dé. On utilise généralement
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À partir de maintenant, le terme variable aléatoire sera résumée en ''va''.
=== Loi de probabilité et fonction de répartition ===
On a vu qu'une va ''X'' était une fonction d'un ensemble de situations possibles (événements) vers un ensemble numérique, disons pour simplifier <math>\mathbb{R}</math>. Dans le cas du revenu de l'agriculteur, les situations possibles s'étalent de la sécheresse à l'inondation, sans parler des catastrophes naturelles (inondation, grêle voire même ouragan). Bref, chacune de ces événements peut se voir attribuer une probabilité.
Dans cette configuration, on appelle '''loi de probabilité''' de ''X'' la donnée de l'ensemble des possibles, noté <math>X(\Omega)</math>, et des probabilités de chacun des événements de <math>X(\Omega)</math>. Elle est l'équivalente des fréquences (relatives) rencontrées en statistique descriptive.
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted red;">
'''Exemple 1''': Dans le cas de ''X'', défini comme le résultat du jet d'un dé honnête, sa loi de probabilité est donnée par <math>X(\Omega) = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\}</math> et ''P(X = 1 ) = P(X = 2) = ... = P(X=6) = 1/6''. La somme des probabilités de tous les événements vaut 1; c'est normal car l'union de tous les événements associés et disjoints forment l'événement certain.
'''Exemple 2''': Une pièce truquée amène pile avec probabilité 0,6. On note ''Y'' la va qui vaut 1 si pile sort, 0 sinon. Sa loi de probabilité est <math>X(\Omega) = \{0 ; 1\}</math> et ''P(X = 1 ) = 0,6 ; P(X= 0)= 1 - P(X=1) 0,4''. Là encore, la somme des probabilités vaut 1, et heureusement !
</blockquote>
À partir de la loi de probabilité, on définit la '''fonction de répartition'''; en statistique descriptive, elle équivaut aux fréqeunces (relatives) cumulées. Il s'agit simplement d'une fonction ''F'' de <math>\mathbb{R}</math> dans ''[0;1]'' qui à un ''x'' associe le cumul à gauche des probabilités dans la loi de probabilité. Autrement dit:
:<math>F(x) = P(X \leq x) = \sum_{i: x_i \leq x} p_i</math>.
Pour obtenir ''F(x)'' il faut donc cumuler les probabilités de tous les événements donnant une réalisation ''x_i'' strictement inférieure à ''x''.
Il faut remarquer que dans certains livres, la fonction de répartition est définie à partir d'une égalité stricte ''P(X < x)''. Si cela change en pratique quelques propriétés de la fonction de répartition, l'essentiel est préservé: ''F'' est une fonction strictement croissante, continue à droite, et ses limites sont 0 / 1 en moins / plus l'infini. En pratique, le graphe de la fonction de répartition est une fonction en escalier de 0 vers 1, les sauts correspondants aux <math>x_i</math>.
La fonction de répartition est particulièrement pratique pour calculer des probabilités. En effet, si <math>F(x) = P(X \leq x)</math>, on établit facilement que
:<math> P(X \leq \beta) = F(\beta) \quad P(X > \alpha) = 1-F(\alpha) \quad P(\alpha < X \leq \beta) = F(\beta) - F(\alpha)</math>
Une autre utilisation est le calcul des '''quantile'''. Le quantile d'ordre <math>\alpha</math> est le réel <math>q_\alpha</math> tel que <math>F(q_\alpha) = \alpha</math>.
=== L'expérience de Bernoulli ===
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