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Therefore, we don't care, what is the probabilityprobabilité it will rain tomorrowé, but given the probabilityprobabilité is 60% we can make deductions, the easiest of which is the probabilityprobabilité it will not rain tomorrow is 40%.
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==== Exercices ====
LetSoit ''A'' representle thenombre numberamené thatpar turnsun uplancer inde adé (fair) die rollhonnête, letsoit ''C'' representle thenombre numberamené thatpar turnsun upautre inlancé ade separatedé (fair)et die roll, and letsoit ''B'' representune acarte cardtirée randomlyau pickedhasard outd'un ofjeu ade deck:cartes.
1. AUn diedé isest rolledlancé. WhatQuelle isest thela probabilityprobabilité ofd'obtenir rolling aun 3, i.e.c'est-à-dire calculatecalculer ''P(A = 3)é'' ?
2. AUn diedé isest rolledlancé. WhatQuelle isest thela probabilityprobabilité of rollingd'obtenir aun 2, 3, '''orou''' 5 i.e.c'est-à-dire calculatecalculer ''P(A = 2) + P(A = 3) + P(A = 5)é'' ?
3. On tire une carte dans un jeu de 52. Quelle est la probabilité de choisir un carreau ?
3. What is the probability of choosing a card of the suit Diamonds (in a 52-card deck)é
4. AUn diedé isest rolledlancé andet aune cardcarte isest randomlytirée pickedau from a deck of cardssort. WhatQuelle isest thela probabilityprobabilité of rollingd'obtenir aun 4 '''andet''' pickingun theas Acede ofde spadestrèfle, i.e.c'est-à-dire calculatecalculer ''P(A = 4)×P(B = AceAs ofde spadestrèfle)''.
5. Deux dés sont lancés. Quelle est la probabilité d'obtenir un 1 suivi d'un 3 ?
5. Two dice are rolled. What is the probability of getting a 1 followed by a 3é
6. TwoDeux dicedés aresont rolledlancés. WhatQuelle isest thela probabilityprobabilité ofd'un gettingobtenir aun 1 andet aun 3, regardlesspeu ofimporte orderél'ordre ?
7. Calculez la probabilité d'obtenir deux nombres qui se somment à 7.
7. Calculate the probability of rolling two numbers that add up to 7.
8. (Optional) Show the probabilityprobabilité of ''C'' is equal to ''A'' is 1/6.
9. WhatQuelle isest thela probabilityprobabilité thatque ''C'' isest greaterplus thangrand que ''A''é ?
10. Gareth was told that, inChristophe hisapprend classque 50% ofdes theautres pupilsélèves playjouent au football, 30% playaux jeux videovidéo gameset andenfin 30% studyétudient mathematicsles mathématiques. SoAinsi, ifen hetirant wasau tosort chooseun aélève studentau fromhasrd thedans classla randomlyclasse, heChristophe calculateda calculé que la theprobabilité probabilityque thatcet theélève studentjoue playsau football, videojeu-vidéo gamesou orétudie studiesles mathematicsmathématiques isest 50% + 30% + 30% = 1/2 + 3/10 + 3/10 = 11/10., ButÉtant alldonné que les probabilités shoulddoivent bese betweensituer entre 0 andet 1., Whatquelle mistakeerreur didChristophe a-t-il Garethcommis makeé?
''' Solutions '''
2. P(A = 2) + P(A = 3) + P(A = 5) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2
3. P(B = AceAs ofde Diamondscarreau) + ... + P(B = KingRoi ofde Diamondscarreau) = 13 é× 1/52 = 1/4
4. P(A = 4) é× P(B = AceAs ofde Spadestrèfle) = 1/6 é× 1/52 = 1/312
5. P(A = 1) é× P(A = 3) = 1/36
6. P(A = 1) é× P(A = 3) + P(A = 3) é× P(A = 1) = 1/36 + 1/36 = 1/18
7. HereIl arey thea possibleici combinationsplusieurs possibilités: 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4 = 7. ProbabilityLa ofprobabilité gettingd'obtenir eachchacune ofdes thepossibilités combinations areest 1/18 ascomme indans Q6. ThereIl arey 3a trois de suchces combinationscombinaisons, sod'où thela probabilityprobabilité isest 3 × 1/18 = 1/6.
9. SincePuisque bothque diceles aredeux fairdés sont équilibrés, C > A isest justtout asaussi likelyprobable asque C < A. SoAinsi
:P(C > A) = P(C < A)
et
and
:P(C > A) + P(C < A) + P(A = C) = 1
Mais
But
:P(A = C) = 1/6
soainsi P(C > A) = 5/12.
10., ForPar exampleexemple, someparmi of thoseles 50% whoqui playjouent au football, maycertains alsopeuvent studyaussi mathematicsétudier les mathématiques. De même pour les fans de jeu-vidéo. On ne peut donc pas simplement les ajouter. on ne So we can not simply add them.
== Random Variables aléatoires ==
AUne ''randomexpérience experimentaléatoire'', suchtelle asque ''throwinglancer aun diedé'' orou ''tossingtirer aà coinpile ou face'', isest aun processprocessus thatqui producesproduit someun uncertainrésultat outcomeincertain. WeNous alsoimposons requireaussi thatque ales randomexpériences experimentspuissent canêtre bereproduites repeated easilyfacilement. InDans thiscette section, weon shallnote startà usingl'aide ad'une capitallettre lettercapitale tole representrésultat the outcome of ad'une randomexpérience experimentaléatoire. ForPar exampleexemple, letsoit ''D'' bele therésultat outcomed'un oflancé ade die roll,dé; ''D'' couldpeut takeprendre theles valuevaleurs 1, 2, 3, 4, 5 orou 6, butmais itavec is uncertainincertitude. WeOn saydira que ''D'' isest aune ''random variable aléatoire''. SupposeSupposons nowmaintenant Iqu'on throwlance aun die,dé andet itqu'il turnsapparaisse upun 5, weon dit sayque thela ''observedvaleur valueobservée'' ofde ''D'' isest 5.
Une variable aléatoire est simplement le résultat d'une certaine expérience aléatoire. Elle est généralement notée par une lettre CAPITALE, mais pas une valeur observée. Par exemple, soit
A random variable is simply the outcome of a certain random experiment. It is usually denoted by a CAPITAL letter, but its observed value is not. For example let
:<math>D_1, D_2, ..., D_n</math>
les résultats de ''n'' lancers de dé. On utilise généralement
denote the outcome of ''n'' die throws, then we usually use
:<math>d_1, d_2, ..., d_n</math>
topour denotednoter theles observedvaleurs valuesobservées ofde eachchacun ofdes D<sub>i</sub>'s.
À partir de maintenant, le terme variable aléatoire sera résumée en ''va''.
From here on, random variable may be abbreviated as simply rv (a common abbreviation in other probability literatures).
=== TheL'expérience de Bernoulli ===
Cette section est optionnelle et requiert la maîtrise de la formule du binôme (de Newton).
This section is optional and it assumes knowledge of binomial expansion.
Une ''expérience de Bernoulli'' est simplement un jeu de "pile ou face". Si on lance une pièce, on peut espérer obtenir pile ou face avec la même probabilité. Une expérience de Bernoulli est plus générale que ce jeu basique, dans le sens que les deux résultats ne nécessitent pas d'être équiprobables.
A Bernoulli experiment is basically a "coin-toss". If we toss a coin, we will expect to get a head or a tail equally probably. A Bernoulli experiment is slightly more versatile than that, in that the two possible outcomes need not have the same probability.
Dans une expérience de Bernoulli, on obtient
In a Bernoulli experiment you will either get a
:soit un ''success'', denoted bynoté 1, withavec proabilityprobabilité ''p'' (whereoù ''p'' isest aun numbernombre betweenentre 0 andet 1);
:soit un ''échec'', noté 0, avec la probabilité complémentaire ''1-p''.
or a
:''failure'', denoted by 0, with probaility 1 - ''p''.
IfSi the randomla variable aléatoire ''B'' isest thele outcomerésultat ofd'une aexpérience Bernoullide experimentBernoulli, andet theque probabilityla ofprobabilité gettingde asurvenue 1du issuccès est ''p'', weon saydit que ''B'' comesest fromissue ad'une ''Bernoulli distribution de Bernoulli'' with successavec probabilityprobabilité ''p'' andet weon writeécrit:
:<math>B \sim Ber\mathcal{B}(p) </math>
Par exemple, si
For example, if
:<math>C \sim Ber\mathcal{B}(0.,65) </math>
alors
then
:P(C = 1) = 0.,65
et
and
:P(C = 0) = 1 - 0.,65 = 0,35.35
=== Binomial Distribution Binomiale ===
SupposeSupposons weque wantl'on toveuille repeatrépéter theune Bernoulliexpérience experimentde Bernoulli ''n'' timesfois, thenalorson weobtient get a binomialune ''distribution binomiale''. ForPar exampleexemple:
:<math>C_i \sim Ber\mathcal{B}(p)</math>
forpour ''i = 1, 2, ... , n''. ThatCeci is,signifie qu'il therey area ''n'' variables C<sub>1</sub>, C<sub>2</sub>, ... , C<sub>n</sub> andet theyqu'elles allsont cometoutes fromissues thede samela Bernoullimême distribution de Bernoulli. WeOn considerconsidére:
:<math>B = C_1 + C_2 + ... + C_n</math>,
, thenalors ''B'' isest simplysimplement thela rv''va'' thatqui countsdénombre thele numbernombre ofde successessuccès inparmi les ''n'' trialsessais (experimentsexpériences). SuchUne atelle variablesvariable isest called a binomialappellée ''variable, andbinomiale'' et weon writeécrit
:<math>B \sim \mathcal{B}(n, ; p)</math>
''' ExampleExemple 1 '''
Aditya, Gareth, andet John aresont equallyde ablemême niveau. TheirLeur probabilityprobabilité ofd'obtenir scoringun score de 100 inà anun examtest followssuit aune distribution de Bernoulli distributionavec withprobabilité successde probabilitysuccès de 0.,9. What isQuelle theest probabilityla ofprobabilité que
:i) Onel'un ofdentre themeux gettingobtienne 100é100 ?
:ii) Twodeux ofd'entre themeux gettingobtiennent 100é100 ?
:iii) Alltous 3les gettingtrois 100éobtiennent 100 ?
:iv) Noneaucun gettingn'ait 100éatteint 100 ?
''' Solution '''
WeOn areest dealingconfronté withà a binomialune variable binomiale, whichque we willl'on callnote ''B''. AndAlors
:<math>B \sim Bin\mathcal{B}(3, ; 0.,9)</math>
i) WeOn wantveut to calculatecalculer
:<math>P(B = 1)</math>
La probabilité que l'un des trois atteigne le score de 100 et pas les deux autres (1 succés et 2 échecs) est
The probability of any of them getting 100 (success) and the other two getting below 100 (failure) is
:<math>0.,9 \times 0.,1 \times 0.,1 = 0.,009</math>
mais il y a 3 possibilités pour choisir celui atteignant 100, d'où
but there are 3 possible candidates for getting 100 so
:<math>P(B = 1) = 3\times 0.,009 = 0.,027</math>
ii) WeIl wantfaut to calculatecalculer
:<math>P(B = 2)</math>
Cette dernière se base sur deux succès et un échec, d'où
The probability is
:<math>0.,9 \times 0.,9 \times 0.,1 = 0.,081</math>.
butMais thereil arey a <math>{3\choose 2} </math> combinationscombinaisons ofpour choisir les 2 candidatescandidats forayant gettingatteint 100,; soainsi
:<math>P(B = 2) = {3\choose 2} \times 0.,081 = 0.,243</math>
iii) On généralise la démarche précédente pour calculer
iii) To calculate
:<math>P(B = 3) = 0.,9 \times 0.,9 \times 0.,9 = 0.,729</math>
iv) La probabilité de trois échecs est
iv) The probability of "None getting 100" is getting 0 success, so
:<math>P(B = 0) = 0.,1 \times 0.,1 \times 0.,1 = 0.,001</math>
L'exemple précédent laisse rntendre que la distribution binomiale est fortement liée avec le binôme de Newton. La proposition suivante, concernant la distribution binomiale, est fournie sans preuve, laissée au soin du lecteur.
The above example strongly hints at the fact the binomial distribution is connected with the binomial expansion. The following result regarding the binomial distribution is provided without proof, the reader is encouraged to check its correctness.
Si
If
:<math>B \sim Bin\mathcal{B}(n, ; p)</math>
alors
then
:<math>P(B = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}</math>
ThisCeci isest thele ''k''thé termterme ofdans thele binomialdéveloppement expansion ofde (''p'' + ''q'')<sup>n</sup>, whereoù ''q'' = 1 - ''p''.
''' ExercisesExercices '''
...
...
=== EventsÈvénements ===
InDans the previousles sections précédentes, weon havea slightlyabusé abuseddu theterme use of the word event''événement''. AnUn eventévénement shouldpeut beêtre thoughtpensé ofcomme as ala collection ofde randomrésultats outcomesaléatoires of ad'une certaincertaine rv''va''.
LetIntroduisons usd'abord introduce somequelques notations first. LetSoit ''A'' andet ''B'' be twodeux eventsévénements, weon definedéfinit
:<math>\, A \cap B </math>
tocomme be the event ofl'événement ''A andet B''. WeOn alsodéfinit defineaussi
:<math> A \cup B </math>
tocomme beétant the event ofl'événement ''A orou B''. AsComme demonstrateddémonstré indans exercisel'exercice 10 above,
:<math>\, P(A \cup B) \ne P(A) + P(B)</math>
en général.
in general.
Considérons quelques exemples. Soit ''A'' l'événement d'obtenir un nombre plus petit ou égal à 4 après le jet d'un dé équilibré. Soit ''B'' l'événement "obtenir un nombre impair". Alors
Let's see some examples. Let ''A'' be the event of getting a number less than or equal to 4 when tossing a die, and let ''B'' be the event of getting an odd number. Now
:P(''A'') = 2/3
et
and
:P(''B'') = 1/2
butmais thela probabilityprobabilité ofde ''A orou B'' doesn'est notpas equalégal toà thela sumsomme of thedes probabilités, as below
:<math>P(A \cup B) \ne P(A) + P(B) = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{7}{6}</math>
aspuisque 7/6 isest greatersupérieur thanà 1.
ItCe isn'est notpas difficultdifficile tode seevoir thatque thel'événement event"le oflancer throwingdonne aun 1 orou un 3" isest includedinclus inà bothla fois dans ''A'' andet ''B''. So ifAinsi, ween simplyajoutant addsimplement P(''A'') andet P(''B''), somecertaines events'probabilités probabilitéssont arecomptées beingdeux addedfois twice!
TheLe diagramme de Venn diagramci-dessous belowdevrait shouldclarifier clarify thela situation a little more,
::[[image:HSE_Venn1.png|A or B]]
thinkIl offaut thevoir bluele squarecarré asbleu thecomme probabilityla ofprobabilité de ''B'' andet thele yellowjaune squarela asprobabilité the probability ofde ''A''. TheseCes twodeux probabilités overlapse chevauchent, andce wherequi theyreprésente dola isprobabilité the probability ofde ''A andet B''. SoAinsi, thela probabilityprobabilité ofde ''A orou B'' shoulddoit beêtre:
:<math>P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)</math>.
The above formula is called the ''Simple Inclusion Exclusion Formula''.
IfSi forpour eventsles événements ''A'' andet ''B'', weon havea
:<math>P(A \cap B) = 0</math>
alors ''A'' et ''B'' sont dits '''disjoints'''. Pour deux événements disjoints, la diagramme de Venn devient:
we say ''A'' and ''B'' are '''disjoint'''. The word means ''to separate''. If two events are disjoint we have the following Venn diagram representing them:
::[[image:HSE_Venn_2.png|A and B are disjoint]]
=== Expectation ===
The expectation of a random variable can be roughly thought of as the long term average of the outcome of a certain repeatable random experiment. By long term average it is meant that if we perform the underlying experiment many times and average the outcomes. For exampleexemple, let ''D'' be as above, the observed values of ''D'' (1,2 ... or 6) are equally likely to occur. So if you were to toss the die a large number of times, you would expect each of the numbers to turn up roughly an equal number of times. So the expectation is
:<math>\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3.5</math>
. We denote the expection of ''D'' by E(''D''), so
''' Example 1 '''
In a fair coin toss, let 1 represent tossing a head and 0 a tail. The same coin is tossed 8 times. Let ''C'' be a random variable representing the number of heads in 8 tossesé What is the expectation of ''C'', i.e.c'est-à-dire calculate E(''C'')é
''' Solution 1 '''
...
== Areas as probabilityprobabilité ==
The uniform distributions.
...
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