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Approfondissements de lycée/Démonstrations (modifier)

Version du 14 juin 2007 à 13:43

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→‎Infinité de nombres premiers : reformulation
 
=== Infinité de nombres premiers ===
Nous avons déjà présenté une démonstration de l'infinité des nombres premiers dans le chapitre [[AL Premiers|Nombres premiers]]. EnComme souvent, il existe plusieurs démonstrations de ce théorème, en voici une autre qui repose sur un raisonnement par l'absurde.
 
Supposons qu'il existe un nombre ''fini'' de nombres premiers, et notons ce nombre par ''nN''. Nous multiplions lesensuite ces ''nN'' nombres premiers ensemble, nous ajoutons 1 à ce produit, et nous appelons le nombre qui en résulte ''x''. Maintenant, de façon claire, ''x'' est aussi un nombre premier, donc il existe ''n'' + 1 nombres premiers ! Ceci est une contradiction, donc il doit exister une infinité de nombres premiers.
 
Pour tout nombre premier ''p'', on peut donc écrire ''x'' sous la forme:
Il existe plusieurs manières de démontrer le même théorème.
<math>x = p \times a + 1</math>
où ''a'' est le produit des (N - 1) autres nombres premiers.
 
De façon claire, ''x'' n'est divisible par aucun nombre premier, il est donc lui aussi un nombre premier! On en déduit qu'il existe ''N'' + 1 nombres premiers. Ceci est une contradiction, donc notre hypothèse de départ ne peut qu'être fausse, et on a ainsi démontré qu'il existe donc un nombre ''infini'' de nombres premiers.
 
=== Exercices ===
Utilisateur anonyme
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