« Approfondissements de lycée/Démonstrations » : différence entre les versions
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Ligne 121 :
=== Irrationalité de √2 ===
Comme exemple, nous démontrerons l'irrationalité de <math>\sqrt{2}</math>, i.e. <math>\sqrt{2}</math> n'est pas un nombre rationnel. Rappelons-nous qu'un nombre rationnel est un nombre qui peut être exprimé sous la forme <math>\frac{p
Tout d'abord, supposons que <math>\sqrt{2}</math> est ''rationnel'' :<br />
Ligne 127 :
\sqrt{2} = \frac{a}{b}
</math><br />
où ''a'' et ''b'' sont premiers entre eux (i.e. les deux entiers n'on pas de facteurs en commun). Si ''a'' et ''b'' ne sont pas premiers entre eux, nous enlevons tous les facteurs communs. En d'autres mots,
:<math>
\begin{matrix}
Ligne 147 :
</math>
Nous avons découvert que ''b<sup>2</sup>'' est aussi un entier multiplié par 2. En suivant le raisonnement précédent, ''b'' doit être un entier pair. Ici, nous avons une contradiction: les deux nombres entiers ''a'' et ''b'' sont pairs. En d'autres termes, nous venons de démontrer que ces deux nombres ont un facteur commun: 2. Mais nous avons déjà supposé que ces deux nombres n'avaient pas de facteur commun! Puisqu'une telle contradiction a été établie, nous '''devons''' conclure que notre supposition d'origine était fausse. Par conséquent, on ne peut trouver deux entiers ''a'' et ''b'' premiers entre eux tels qu'on puisse écrire <math>\sqrt{2}</math> sour la forme
=== Infinité de nombres premiers ===
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