« Approfondissements de lycée/Démonstrations » : différence entre les versions

 
=== Irrationalité de √2 ===
Comme exemple, nous démontrerons l'irrationalité de <math>\sqrt{2}</math>, i.e. <math>\sqrt{2}</math> n'est pas un nombre rationnel. Rappelons-nous qu'un nombre rationnel est un nombre qui peut être exprimé sous la forme <math>\frac{p/}{q}</math>, où p et q sont des nombres entiers et q est différent de 0 (voir la section 'catégories de nombres' [[AL Nombres complexes|iciCatégories de nombres]]).
 
Tout d'abord, supposons que <math>\sqrt{2}</math> est ''rationnel'' :<br />
\sqrt{2} = \frac{a}{b}
</math><br />
où ''a'' et ''b'' sont premiers entre eux (i.e. les deux entiers n'on pas de facteurs en commun). Si ''a'' et ''b'' ne sont pas premiers entre eux, nous enlevons tous les facteurs communs. En d'autres mots, ''la fraction <math>\frac{a/}{b''}</math> est sous la forme irréductible. Maintenant, continuons :
:<math>
\begin{matrix}
</math>
 
Nous avons découvert que ''b<sup>2</sup>'' est aussi un entier multiplié par 2. En suivant le raisonnement précédent, ''b'' doit être un entier pair. Ici, nous avons une contradiction: les deux nombres entiers ''a'' et ''b'' sont pairs. En d'autres termes, nous venons de démontrer que ces deux nombres ont un facteur commun: 2. Mais nous avons déjà supposé que ces deux nombres n'avaient pas de facteur commun! Puisqu'une telle contradiction a été établie, nous '''devons''' conclure que notre supposition d'origine était fausse. Par conséquent, on ne peut trouver deux entiers ''a'' et ''b'' premiers entre eux tels qu'on puisse écrire <math>\sqrt{2}</math> sour la forme ''<math>\frac{a/}{b''}</math>, c'est-à-dire que <math>\sqrt{2}</math> est irrationel.
 
=== Infinité de nombres premiers ===
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