« Approfondissements de lycée/Démonstrations » : différence entre les versions

* Cette boule de billard bougera si je la frappe avec cette queue.
 
L'induction est l'opposéopposée de la déduction. PourLorsque celanous raisonnons par ''induction'', nous observons comment les choses se comportent dans des cas particuliers et, à partir de celalà, nous construisons des conclusions sur leur comportement dans les cas généraux. Par exemple :
:<math>1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{(n + 1)n}{2} </math>
Nous savons que c'est vrai pour tous les nombres, parcequeparce que [[w:Gauss|Gauss]] nous l'a dit. Mais comment montrons-nous que c'est vrai pour tous les nombres entiers positifs ? Même si nous pouvons montrer que l'identité reste valable pour les nombres de un à milliard, ou pour tout nombre plus grand que nous pouvons penser, nous n'avons pas encore démontré que cela est vrai pour ''tous les nombres entiers positifs''. C'est ici que l'induction mathématique intervient, cela marche un peu comme les dominos.
 
Si nous pouvons montrer que, lorsque l'identité resteest valable pour un certain nombre ''k'', et que ce fait impliquealors que l'identité resteest encoreaussi valable pour ''k + 1'', alors nous avons effectivement montré qu'elle marche pour tous les nombres entiers.
 
'''Exemple 1'''
'''Solution'''
D'abord, nous montrons qu'elle est valable pour les entiers 1, 2 et 3:
:<math>1 = \frac{2 \times \frac{ 1}{2}\,</math>
:<math>1 + 2 = \frac{3 \times \frac{ 2}{2}\,</math>
:<math>1 + 2 + 3 = \frac{4 \times \frac{ 3}{2} = 6\,</math>
Supposons que l'identité reste valable pour un certain nombre ''k'' strictement positif, alors
:<math>1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{(k + 1)k}{2} </math>
</math>
qui est ce que nous devions montrer. Nous savons donc que, si la formule est vraie pour un entier ''k'' strictement positif, elle est alors valable pour ''k + 1''. Puisque l'identité reste valable pour 3, on peut maintenant conclure qu'elle est aussi valable pour 4 et, puisqu'elle est valable pour 4, elle reste valable pour 5, 6, 7 et ainsi de suite.
 
Il existe deux types d'inductions mathématiques : la forte et la faible. En induction faible, vous supposez que l'identité reste valable pour une certaine valeur k, et vous la démontrez pour k+1. En induction forte, l'identité doit être vraie pour toute valeur inférieure ou égale à k, et vous la démontrez pour k+1.
 
'''Exemple 2'''
</math>
Nous avons montré que s'il est vrai pour n = k alors il est vrai aussi pour n = k + 1. Comme il est vrai pour n = 1, il est vrai pour tous les entiers positifs.
 
Il existe deux types d'inductions mathématiques : la forte et la faible. En induction faible, vous supposez que l'identité reste valable pour une certaine valeur k, et vous la démontrez pour k+1. En induction forte, l'identité doit être vraie pour toute valeur inférieure ou égale à k, et vous la démontrez pour k+1.
 
=== Exercices ===
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