« Approfondissements de lycée/Démonstrations » : différence entre les versions
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→Induction mathématique ou raisonnement par récurrence : reformulation |
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Ligne 14 :
* Cette boule de billard bougera si je la frappe avec cette queue.
L'induction est l'
:<math>1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{(n + 1)n}{2} </math>
Nous savons que c'est vrai pour tous les nombres,
Si nous pouvons montrer que, lorsque l'identité
'''Exemple 1'''
Ligne 27 :
'''Solution'''
D'abord, nous montrons qu'elle est valable pour les entiers 1, 2 et 3:
:<math>1 = \frac{2 \times
:<math>1 + 2 = \frac{3 \times
:<math>1 + 2 + 3 = \frac{4 \times
Supposons que l'identité reste valable pour un certain nombre ''k'' strictement positif, alors
:<math>1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{(k + 1)k}{2} </math>
Ligne 55 :
</math>
qui est ce que nous devions montrer. Nous savons donc que, si la formule est vraie pour un entier ''k'' strictement positif, elle est alors valable pour ''k + 1''. Puisque l'identité reste valable pour 3, on peut maintenant conclure qu'elle est aussi valable pour 4 et, puisqu'elle est valable pour 4, elle reste valable pour 5, 6, 7 et ainsi de suite.
Il existe deux types d'inductions mathématiques : la forte et la faible. En induction faible, vous supposez que l'identité reste valable pour une certaine valeur k, et vous la démontrez pour k+1. En induction forte, l'identité doit être vraie pour toute valeur inférieure ou égale à k, et vous la démontrez pour k+1.▼
'''Exemple 2'''
Ligne 96 ⟶ 94 :
</math>
Nous avons montré que s'il est vrai pour n = k alors il est vrai aussi pour n = k + 1. Comme il est vrai pour n = 1, il est vrai pour tous les entiers positifs.
▲Il existe deux types d'inductions mathématiques : la forte et la faible. En induction faible, vous supposez que l'identité reste valable pour une certaine valeur k, et vous la démontrez pour k+1. En induction forte, l'identité doit être vraie pour toute valeur inférieure ou égale à k, et vous la démontrez pour k+1.
=== Exercices ===
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