« Approfondissements de lycée/Dénombrement et séries de puissances » : différence entre les versions
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Ligne 421 :
où a, b et c ≥ 0
== Dérivation ==
Cette section et la section sur la *technique de dérivation* peuvent être passées si vous êtes déjà familier avec l'analyse/dérivation.
En analyse, la dérivation est une des opérations les plus importantes appliquées aux fonctions de nombres réels. Pour dériver une fonction f(x), nous évaluons simplement la limite
:<math>\lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math>
:<math>f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math>
et
:<math> \frac{dy}{dx}= \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math>
veulent dire la même chose. Nous posons, f'(x) est la dérivée de f(x). La dérivation est très utile pour beaucoup d'usages, mais nous n'allons pas exposer les raisons de l'invention de l'analyse, mais plutôt comment nous pouvons appliquer l'analyse à l'étude des séries de puissances.
Il devrait être clair que si
:g(x) = f(x)
alors
:g'(x) = f'(x)
La loi ci-dessus est importante. Si g(x) une forme réduite de f(x), alors la dérivation des deux cotés est valide pour obtenir une nouvelle série de puissances.
Aussi, si
:h(x) = g(x) + f(x)
alors
:h'(x) = g'(x) + f'(x)
Ceci peut être vérifié en examinant les propriétés des limites.
====
Dérivons f(x) où
:<math>f(x) = x^2\,</math>
:<math>f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{(x + h)^2 - x^2}{h}</math>
:<math> = \lim_{h\to 0}\frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}</math>
:<math> = \lim_{h\to 0}\frac{2xh + h^2}{h}</math>
Nous pouvons maintenant extraire ''h'' pour obtenir maintenant
:<math>\lim_{h\to 0}2x + h </math>
:f'(x) = 2x
ou de manière équivalente :
:<math>(x^2)' = 2x\,</math>
====
:<math>p'(x)= \lim_{h\to 0}\frac{(x + h)^n - x^n}{h}</math>
Par le théorème du binôme, nous avons :
:<math>=\lim_{h\to 0} \frac{1}{h}(x^n + nx^{n-1}h + ...+ h^n - x^n)</math>
:<math>=\lim_{h\to 0} \frac{1}{h}(nx^{n-1}h + ...+ h^n)</math>
:<math>=\lim_{h\to 0}nx^{n-1} +...+ h^{n-1}</math>
et le résultat devient :
:<math>=nx^{n-1}</math>
'''
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted purple;">
Si
:<math>
p(x) = x^n\,
</math>
alors
:<math>
p'(x) = nx^{n-1}\,
</math>
</blockquote>
Comme vous pouvez le voir, la dérivation implique d'extraire la dérivée d'une fonction à travers une manipulation algébrique, et pour cette raison, cette section est algébriquement très difficile.
====
Supposons que si
:h(x) = f(x) + g(x)
alors
:h'(x) = f'(x) + g'(x)
''' Solution '''
:<math>h'(x) = 2x + 5x^4</math>
====
:<math>g'(x) = A
''' Solution '''
Ligne 516 :
</math>
====
Dériver
:<math>
\begin{matrix}
Ligne 539 :
</math>
====
1. Dériver
:<math>f(z) = z^3</math>
2. Dériver
:<math>f(z) = (1 - z)^2</math>
3. Dériver
:<math>f(z) = \frac{1} {(1 - z)^2}</math>
4. Dériver
:<math>f(z) = (1 - z)^3</math>
5.
''
===
:<math>f(z) = (1 - z)^n \,</math>
====
Commençons par :
:<math>f(z) = (1 - z)^n</math>
Développons le coté droit en utilisant le développement du binôme
:<math>f(z) = \sum_{i=0}^n (-1)^i{n \choose i}z^i
= 1 - {n \choose 1}z + {n \choose 2}z^2 + ... + (-1)^nz^n</math>
dérivons les deux cotés
:<math>f'(z) = \sum_{i=1}^n (-1)^i{n \choose i}iz^{i-1}
= - {n \choose 1} + {n \choose 2}2z + ... + (-1)^nnz^{n-1}</math>
:<math>f'(z) = \sum_{i=1}^n (-1)^i \frac{n!}{i!(n-i)!} iz^{i-1}
= - \frac{n!}{1!(n-1)!} + \frac{n!}{2!(n-2)!}2z + ... + (-1)^nnz^{n-1}</math>
il existe certaines annulations
:<math>f'(z) = \sum_{i=1}^n (-1)^i \frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}z^{i-1}
= - \frac{n!}{1!(n-1)!} + \frac{n!}{1!(n-2)!}z + ... + (-1)^nnz^{n-1}</math>
:<math>f'(z) = -n\sum_{i=1}^n (-1)^{(i-1)} \frac{n-1!}{(i-1)!(n-i)!}z^{i-1}
=-n(1 + \frac{n-1!}{1!(n-2)!}z + ... + (-1)^{n-1}z^{n-1})</math>
:<math>f'(z) = -n\sum_{j=0}^{n-1} (-1)^{(i-1)} \frac{n-1!}{(i-1)!(n-i)!}z^{i-1}
=-n(1 + \frac{n-1!}{1!(n-2)!}z + ... + (-1)^{n-1}z^{n-1})</math>
:<math>f'(z) = -n(1 - z)^{n-1}</math>
====
Similar to Derivation 1, we use instead the definition of a derivative:
:<math>f'(z) = \lim_{h \to 0}\frac{(1 - (z+h))^n - (1-z)^n}{h}</math>
| |||