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:le nombre de solutions est <math>{{n + 3}\choose {3}}\,</math>
=== MorePlus Countingde dénombrement ===
Nous tournons un problème légèrement plus difficile de la même manière. Supposons que comptons le nombre de solutions de :
We turn to a sligthly harder problem of the same kind. Suppose we are to count the number of solutions to:
:<math>2a + 3b + c = n\,</math>
forpour someun integercertain ''entier <math>n''& \ge; 0\,</math>, withavec a, b, alsoet c greateraussi thanplus orgrand equalou zero.égal Weà canzéro. writeNous downpouvons theécrite closedla formforme straight awayréduite, wenous notenotons thele coefficient ofde x<sup>n</sup> ofde :
:<math>(1 + x^2 + x^4 + ...)(1 + x^3 + x^6 + ...)(1 + x + x^2 + ...) = \frac{1}{(1 - x^2)(1 - x^3)(1 - x)}</math>
isest the requiredla solution requise. ThisCeci isest duedû toau fait, againde nouveau, theque factlorsque thatles whenpuissances multiplyingsont powersmultipliées, les indices adds'ajoutent.
ToPour obtainobtenir thele numbernombre ofde solutions, wenous break thescindons l'expression intoen formes réduites recognisablereconnaissables closed-formspar byla methodméthode ofdes partialfractions fractionpartielles.
==== ExampleExemple 1 ====
LetSoit s<submath>ks_k\,</submath> bele thenombre number ofde solutions tode thel'équation followingsuivante equation:
:<math>2a + 2b = n; (a, b &\ge; 0)\,</math>
FindTrouver thela generatingsérie functionde forpuissances pour s<submath>ks_k\,</submath>, thenpuis findtrouver anune explicitformule formulaexplicite forpour s<submath>ns_n\,</submath> inen termstermes ofde ''n''.
'''Solution'''
LetSoit T(z) bela thesérie generatingde functionspuissances ofde t<submath>kt_k\,</submath>
:<math>T(z) = {(1 + z<sup>2</sup>z_2 + z<sup>4</sup>z_4 + ... + z<sup>z_{2n</sup>} + ...)<sup>}^2\,</supmath>
:<math>T(z) = \frac{1}{(1 - z^2)^2}\,</math>
Il n'est pas difficile de voir que
It's not hard to see that
:<math>s_n = 0 \ \mbox{ifsi n isest oddimpair}</math>
:<math>s_n = {n/2 + 1\choose n/2} = {n/2 + 1\choose 1} = n/2 + 1 \ \mbox{ifsi n isest evenpair}</math>
==== ExampleExemple 2 ====
LetSoit t<submath>kt_k\,</submath> bele thenombre number ofde solutions tode thel'équation followingsuivante equation:
:<math>a + 2b = n; (a, b &\ge; 0)\,</math>
FindTrouver thela generatingsérie functionde forpuissances pour t<submath>kt_k\,</submath>, thenpuis findtrouver anune explicitformule formulaexplicite forpour t<submath>nt_n\,</submath> inen termstermes ofde ''n''.
'''Solution'''
LetSoit T(z) bela thesérie generatingde functionspuissances ofde t<submath>kt_k\,</submath>
:<math>T(z) = (1 + z + z<sup>2</sup>z_2 + ... + z<sup>n</sup>z_n + ...)(1 + z<sup>2</sup>z_2 + z<sup>4</sup>z_4 + ... + z<sup>z_{2n</sup>} + ...)\,</math>
:<math>T(z) = \frac{1}{(1 - z)} \times \frac{1}{1 - z^2}</math>
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