« Approfondissements de lycée/Dénombrement et séries de puissances » : différence entre les versions

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</blockquote>
 
=== Dénombrer les solutions de a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> + ... + a<sub>m</sub> = n</math> ===
Considérons le nombre de solutions de l'équation suivante :
:<math>a_1 + a_2 + \ldots + a_m = n\,</math>
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où a<sub>i</sub> &ge; 0; i = 1, 2, 3.
 
YouVous canpouvez solverésoudre thele problemproblème byen puttingalignant n + 3 lolliespoupées onsur thela table in a straightline. GetPrenons twodeux dividersdiviseurs andet ''choosechoisissons'' 2 gapsespaces fromà thepartir des n + 2 gapsespaces availabledisponibles. NowMaintenant thatque youvous haveavez divideddivisé n + 3 lolliespoupées intoen 3 parts, withdont eachchaque part havinga 1 orou plus morede lolliespoupées. Now takeMaintenant, backreprenons 1 lolliespoupée fromde eachchaque part, andet youvous haveavez solvedrésolu thele problème problem! SoDonc, thele numbernombre ofde solutions isest <math> n + 2 \choose 2 \,</math>. MorePlus generallygénéralement, ifsi youvous haveavez m sisterssoeurs andet n lolliespoupées, thele numbernombre ofde waysmanières topour sharepartager theles lolliespoupées isest
:<math> {{n + m - 1} \choose {m - 1}} = {{n + m - 1} \choose {n}} </math> .
 
Un petit conseil, si vous avez des soeurs, donnez-leur une quantité égale de poupées, parcequ'elles sont toutes adorables.
A word of advice, if you have sisters, give each of them an equal amount of lollies, because they are all so adorable.
 
NowMaintenant, tocomme thediscuté important resultci-dessus, as discussed above thele numbernombre ofde solutions tode
:a<sub>1</submath>a_1 + a<sub>2</sub>a_2 + ...\ldots + a<sub>m</sub>a_m = n\,</math>
where a<sub>i</submath>a_i &\ge; 0; (i = 1, 2, 3 ...\ldots m)\,</math>
isest
:<math>{{n + m - 1} \choose {n}}\,</math>
i.e.
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted purple;">
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</blockquote>
 
==== ExampleExemple 1 ====
La forme réduite d'une série de puissance T(z) est
The closed form of a generating function T(z) is
:<math>T(z) = \frac{z}{(1-z)^2}\,</math>
andet t<sub>k</sub> inest thele coefficient ofde z<sup>k</sup> isest T(z). FindTrouver anune explicitformule formulaexplicite forpour t<sub>k</sub>.
 
'''Solution'''
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\end{matrix}
</math>
ThereforePar conséquent, t<sub>k</sub> = k
 
==== Example 2 ====
Ligne 356 :
 
'''Solution'''
Par la formule
By the formula
:<math>
\begin{matrix}
Ligne 363 :
\end{matrix}
</math>
donc
so
:thele numbernombre ofde solutions isest <math>{{n + 3}\choose {3}}\,</math>
 
=== More Counting ===