« Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Diagramme horaire » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Ligne 147 :
v(z) est donnée par l'équation [ dite théorème d'énergie cinétique d'Einstein] :
<math>\frac{
On en tire v(z), et il "ne reste plus qu'à faire" les calculs : on conseille d'utiliser la méthode graphique ou numérique; mais ceux qui possèdent plus d'habileté mathématique retrouveront les expressions suivantes :
*z = c²/g( sqrt[1+(gt/c)²]-1)
*dz/dt = v(t) = gt/sqrt[1+(gt/c)²] qui satisfont l'équation précédente dont la solution était unique : c'est donc la bonne (c'est un bon exercice de terminaleS de le vérifier, si on sait manier les dérivées).
Que constater ? si gt/c <<1, v= gt et z = 1/2gt² : Galilée avait raison.
Ligne 161 ⟶ 162 :
x = ct -c²/g + O(c²/gt): Einstein a raison : la particule ne peut pas être plus loin que ct.
'''Note:''' les Gens Savants auront reconnu que si on pose la "rapidité" r [telle que v = c th r] , alors c'est la rapidité qui croît linéairement r = g.T avec le temps "propre" T , ce qui est conforme au principe de relativité galiléenne (il suffit de raisonner à chaque instant t dans le référentiel galiléen tangent : cette solution en effet très élégante est d'Einstein lui-même !)
On constate que t = c/g sh gT/c ['''remarque:''' T(t), fonction monotone de t, est donc une échelle de temps ; c'est le grand mérite d'Einstein et de Poincaré d'avoir fait réfléchir profondément sur cette notion des différentes échelles de temps] ; et donc au bout de T = 3c/g , t = ~ c/2g exp gT/c , c'est à dire que l'horloge de la particule ralentit énormément T~ c/g Ln (2gt/c)▼
▲On constate que t = c/g sh gT/c ['''remarque:''' T fonction monotone de t est donc une échelle de temps ; c'est le grand mérite d'Einstein et de Poincaré d'avoir fait réfléchir profondément sur cette notion des différentes échelles de temps] ; et donc au bout de T = 3c/g , t = ~ c/2g exp gT/c , c'est à dire que l'horloge de la particule ralentit énormément T~ c/g Ln (2gt/c)
enfin on peut vérifier que z = c²/g [ch(gT/c) -1]
Ligne 171 ⟶ 170 :
Ainsi va le monde un peu étrange des particules rapides : c'est vérifié des milliers de fois dans les accélérateurs; Einstein a simplement amélioré Galilée et Newton : la Relativité Restreinte est une réalité, banale pour qui voyage à une vitesse proche de c .
*Et voici plus SPECTACULAIRE :
Et voici plus SPECTACULAIRE : la démonstration de Torricelli continue donc de marcher, c'est ce qu' a affirmé Einstein : quand la particule, au temps to, a la vitesse v(to)= g.to/sqrt[1+(g.to/c)²], à la position z(to) = c²/g( sqrt[1+(gto/c)²]-1), Torricelli dit : ceci est "comme rien" dans le référentiel de vitesse v(to); je peux donc écrire dans ce référentiel V= gt' et Z = 1/2 g t'²; et ceci est exact !▼
▲
mais attention ! dans la cinématique d'Einstein, l'intervalle de temps t' apparaît comme un intervalle dilaté : t = t'/sqrt(1-v(to)²/c²) ET D'AUTRE PART la formule d'addition des vitesses est légèrement changée en relativité restreinte : [v(to) ^+^ V] vaut en fait [v(to)+V]/(1+v(to).V/c²), soit ici puisque V est très petite : v(to)+ V(1- v(to)²/c²) + ... = v(to) + gt (1-v(to)²/c²)^3/2 :
Torricelli (-corrigé par Einstein-) trouve donc que v(to+t)-v(to) = gt .(1-v(to)²/c²)^3/2 pour t très petit (devant c/g!): c'est donc écrire dv/dt = g (1-v²/c²)^3/2 , ce qui redonne en intégrant , merveille : v(t) = gt/sqrt(1+g²t²/c²), soit le résultat escompté!
Torricelli, je pense, aurait tiré son chapeau devant Einstein :
le principe de Relativité de Galilée continue de marcher !
▲mais attention!dans la cinématique d'Einstein, l'intervalle de temps t' apparaît comme un intervalle dilaté : t = t'/sqrt(1-v(to)²/c²) ET D'AUTRE PART la formule d'addition des vitesses est légèrement changée en relativité restreinte : [v(to) ^+^ V] vaut en fait [v(to)+V]/(1+v(to).V/c²), soit ici puisque V est très petite : v(to)+ V(1- v(to)²/c²) + ... = v(to) + gt (1-v(to)²/c²)^3/2 : Torricelli (-corrigé par Einstein-) trouve donc que v(to+t)-v(to) = gt .(1-v(to)²/c²)^3/2 pour t très petit (devant c/g!): c'est donc écrire dv/dt = g (1-v²/c²)^3/2 , ce qui redonne en intégrant , merveille : v(t) = gt/sqrt(1+g²t²/c²), le résultat escompté!
== Conclusion-Résumé ==
| |||