« Approfondissements de lycée/Démonstrations » : différence entre les versions
Approfondissements de lycée/Démonstrations (modifier)
Version du 10 mars 2007 à 15:03
, il y a 15 ans→Axiomes et inférence : correction mineure
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(→Axiomes et inférence : correction mineure) |
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Soient ''a'', ''b'' et ''c'' des nombres réels
: Pour ''a'', ''b'', et ''c'' réels
:'''A1:''' ''a''+''b'' est aussi dans
:'''A2:''' Il existe 0, tel que 0 + ''a'' = ''a'' pour tout ''a'' (existence de zéro - une ''identité'')
:'''A3:''' Pour chaque ''a'', il existe ''b'' (écrit -''a''), tel que a + b = 0 (existence d'un opposé)
: Pour ''a'', ''b'', et ''c'' réels en excluant zéro
:'''M1:''' ''ab'' est aussi dans l'ensemble des réels (zéro exclut) (''clotûre'')
:'''M2:''' Il existe un élément, 1, tel que 1''a'' = ''a'' pour tout ''a'' (existence de un - une ''identité'')
:'''M3:''' Pour chaque ''a'' il existe a ''b'' tel que ''ab'' = 1
Pour les étudiants intéressés, les concepts de ''cloture'', ''identité'', avoir des ''inverses'' et ''associativité'' d'une opération et un ensemble sont connus comme un [[Algèbre abstraite:groupes|groupe]]. Si ''F'' est un groupe muni de l'addition et ''F''<sup>*</sup> est un groupe muni de la multiplication, plus le concept de la distributivité, ''F'' est un corps. Les axiomes ci-dessus établissent simplement ce fait.
Noter que l'ensemble des nombres naturels n'est pas un corps, comme '''
Noter aussi, s'il vous plaît, que (-''a'') représente l'inverse de ''a'', cela ne signifie pas que (-a) = (-1)(a), bien que nous puissions démontrer qu'ils sont équivalent.
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