« Étude de l'œuvre mathématique de Lazare Carnot » : différence entre les versions

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== Partie I ==
 
[[imageImage: CI2.JPG|thumb|300px|right|Qu'est-ce que le CI ?]]
L'importance du calcul infinitésimal ne réside pas seuleument dans la méthode de calcul très commode, car il peut aussi se transformer en une méthode d'analyse des phénomènes naturels et virtuels. L'étonnement vient en fait de la grandeur insignifiante qui entre dans le calcul et dont on n'est jamais sûr si elle a disparu ou pas. Par conséquent, pour Carnot, la question peut être posée ainsi : est-ce sa propriété que d'être les deux à la fois ?
Ce qui expliquerait sa métaphysique qui lui permet d'échapper aux sens et à l'imagination.
 
''« '''Il n'est aucune découverte qui ait produit dans les sciences mathématiques une révolution aussi heureuse et aussi prompte que celle de l'analyse infinitésimale''' ; aucune n’a fourni des moyens plus simples ni plus efficaces pour pénétrer dans la connaissance des lois de la nature. En décomposant, pour ainsi dire, les corps jusque dans leurs éléments, elle semble en avoir indiqué la structure intérieure et l’organisation ; mais comme ce qui est extrême échappe aux sens et à l'imagination, on n'a jamais pu se former qu’une idée imparfaite de ces éléments, espèces d’êtres singuliers, qui, tantôt jouent le rôle de véritables quantités, tantôt doivent être traités comme absolument nuls, et semble par leurs propriétés équivoques, '''tenir le milieu entre la grandeur et le zéro, entre l'existence et le néant'''.»'' page 5-6
[[imageImage: CI3.JPG|thumb|300px|left|Qu’est-ce que le CI ?]]
Ensuite Carnot explique ce qu'il entend par le terme « infiniment petit » et il ajoute que l'idée d'une quantité infinitésimale est beaucoup plus appropriée pour la théorie que celle de la limite.
 
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L'inconvénient à l'application d'un calcul se basant sur ce genre de méthode venait de l'incohérence entre le but recherché et la méthode à adopter. C'est-à-dire, comment faire sortir une solution juste et précise avec un calcul se basant sur l'approximation qui induit nécessairement qu'il y a une quantité négligée ?
Le calcul de la surface d'un cercle est très représentatif de la méthode à adopter mais ce n'est pas encore l’analyse infinitésimale. Cela étant, peut-on le généraliser à toutes les courbes ?
[[imageImage: CI1.JPG|thumb|300px|left|Qu’est-ce que le CI ?]]
''« La difficulté qu'on rencontre souvent à exprimer exactement par des équations les différentes conditions, a pu faire naître les premières idées du calcul infinitésimal. Lorsqu'il est trop difficile, en effet, de trouver la solution exacte d'une question, il est naturel de chercher au moins à en approcher le plus qu'il est possible, en négligeant les quantités qui embarrassent les combinaisons, si l'on prévoit que ces quantités négligées ne peuvent, à cause de leur peu de valeur, produire qu'une erreur légère dans le résultat du calcul. C'est ainsi, par exemple, que ne pouvant découvrir qu'avec peine les propriétés des courbes, on aura imaginé de les regarder comme des polygones d'un grand nombre de côtés (…)»'' page 8
 
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== Partie III ==
 
[[imageImage: CINF1.JPG|thumb|300px|right|la figure de Carnot]]
''"Par exemple, soit proposé de mener une tangente au point donné M de la circonférence MBD. Soit C le centre du cercle, DCB l'axe ; supposons l'abscisse DP= x, l'ordonné correspondante MP = y, et '''soit TP la sous-tangente cherchée'''. Pour la trouver, considérons le cercle comme un polygone d’un très grand nombre de côtés, soit MN un des côtés, prolongeons le jusqu’à l’axe ; ce sera évidemment la tangente en question, puisque cette ligne pénétrera pas dans l’intérieur du polygone ; abaissons de plus en plus la perpendiculaire MO sur NQ, parallèle à MP, et nommons a le rayon du cercle : cela posé, nous aurons évidemment MO/NO = TP/y."''
 
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''"Le résultat exact TP = y²/( a – x) n’a donc été obtenu que par compensation d’erreurs ; et cette compensation peut-être rendue plus sensible encore en traitant l’exemple rapporté ci-dessus d’une manière un peu différente, c’est-à-dire, en considérant le cercle comme une véritable courbe et non comme un polygone."''
 
[[imageImage: CINF2.JPG|thumb|300px|right|la figure de Carnot-2]]
''"Pour cela, par un point R, pris arbitrairement à une distance quelconque du point M, soit menée la ligne RS parallèle à MP et par les points R et M soit tirée la sécante RT’ ; nous aurons évidemment T’P/ MP = MZ/RZ, et partant T’P, ou TP + TT = MP (MZ/RZ). Cela posé, si nous imaginions que RS se meuve parallèlement à elle-même en s’approchant continuellement de MP, il est visible que le point T’ s’approchera en même temps de plus en plus du point T, et qu’on pourra par conséquent rendre la ligne T’T aussi petite qu’on voudra sans que la proportion établi ci-dessus cesse d’avoir lieu."''
 
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''« Lorsqu’en mathématique, deux lignes, deux surfaces, (…) sont supposés s’approcher (…), on dit que ces deux quantités ont pour dernière raison une raison d’égalité. »''
 
[[imageImage: CINF3.JPG|thumb|300px|right|Figure Carnot-3]]
 
== Partie XVII ==
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Au commencement de cette aventure sont les suites de nombres. Pour être plus précis, ce sont les différences des suites qui allaient attirer l’attention de Leibniz. En effet si on regarde bien une suite de nombre, on s’aperçoit que les différences de la suite croissante de nombres ont quelques propriétés. Par exemple, les différences d’une suite de nombre croissante peuvent être linéaires ou la somme des différences d’une suite correspond au dernier nombre à laquelle on a arrêté la suite.
[[imageImage: CID1.JPG|thumb|200px|right|genèse CI]]
0 1 4 9 16
1 3 5 7
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6x +3 +9 +15 +21 +27
 
[[imageImage: CID2.JPG|thumb|250px|left|calcul différentiel et calcul integral]]
Essayons avec X³ :