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:<math>\lim_{x \to \infty}x^3 -x^2 = \lim_{x \to \infty}x^2(x-1) = \infty </math>
TheLa lastdernière expression isreprésente twoles functionsdeux multipliedfonctions togethermultipliées ensembles. BothLes ofdeux thesetendent functionsvers approachl'infini infinity aslorsque ''x'' approachestend infinityvers l'infini, sodonc thele productproduit isest infinityl'infini alsoaussi. ThisCeci meansveut thatdire theque la ''limitlimite'' does notn'existe existpas, i.e. thereil isn'existe nopas finitede numbernombre thatfini theque functionla approachesfonction asapproche lorsque ''x'' getsdevient de plus biggeren andplus biggergrand.
Encore une fois, simplement pour que vous soyez familier avec la manière dont cela fonctionne. Calculer :
One more just to get you really familer with how it works. Calculate:
:<math>\lim_{x \to \infty}\frac{\sin x}{x} </math>
Pour rendre les choses très claires, nous réécrirons ceci sous la forme
To make things very clear we shall rewrite it as
:<math>\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}(\sin x) </math>
NowMaintenant, topour calculatecalculer thisceci, limitnous weavons needbesoin tode lookregarder atles thepropriétés properties ofde sin(x). Sin(x)is aest functionune thatfonction youdont shouldvous alreadydevriez beêtre familiardéjà withfamilier (orou youvous soonallez willl'être bebientôt) itsavec valuesa oscillatesvaleur betweenqui oscille entre 1 andet -1 dependingdépendant onde x. ThisCeci meansveut thatdire theque absolutela valuevaleur ofabsolue de sin(x) (thela valuevaleur ignoringen theignorant plusle orsigne plus minusou signmoins) isest alwaystoujours lessinférieure thanou orégale equal toà 1 :
:<math> |x| \le 1</math>
SoDonc, wenous haveavons 1/x whichdont wenous alreadysavons knowdéjà goesqu'il totend zerovers aszéro lorsque x goestend tovers infinityl'infini multipliedmultiplié bypar sin(x) whichqui alwaysreste remainstoujours finitefini noquelle matterque howsoit bigla xvaleur getsde x. ThisCeci givesnous usdonne
:<math>\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}(\sin x) = 0 </math>
Evaluer les limites suivantes;
Evaluate the following limits;
#<math>\lim_{x \to \infty}\frac{3x^2 -4}{2x^2 +x} </math>
==Séries infinies==
Considérons la somme infinie :
Consider the infinite sum 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ....
: \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ....
Do you think that this sum will equal infinity once all the terms have been added ? Let's sum the first few terms.
Pensez-vous que cette somme sera égale à l'infini une fois que tous les termes seront additionnés ? Sommons les premiers termes.
<math>
\begin{matrix}
S_1 &=& \frac{1}{1} &=& 1 \\
S_2 &=& \frac{1}{1} + \frac{1}{2} &=& 1.,5 \\
S_3 &=& \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} &=& 1.,75 \\
S_4 &=& \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} &=& 1.,825 \\
\end{matrix}
</math>
CanPouvez-vous youdeviner guessce whatqu'est <math>S_\infty</math> is ?
HereVoici isune anotherautre waymanière ofde lookingle at itvoir. ImagineImaginez aun point onsur un segment se adéplaçant numberle linelong movingde alongla asprogression thede sumla progressessomme. InDans thele firstpremier termterme, thele point jumpssaute toà thela position 1. ThisLe is half waydemi-chemin fromentre 0 toet 2. InA thela seconddeuxième stageétape, thele point jumpssaute toà la position 1.,5 - halfle waydemi-chemin fromentre 1 toet 2. AtA eachchaque stageétape inde thela processprogression (shownmontré ind'une acouleur differentdifférente coloursur onle the diagramschéma) thela distance toà 2 isest diminuée de halvedmoitié. TheLe point canpeut getêtre asapproché close to thedu point 2 asautant youque likevous voulez. You justVous needavez tobesoin dosimplement thedu appropriatenombre numberapproprié ofde jumpssauts, butmais thele point willne neversera actuallyjamais reachatteint 2 inavec aun finitenombre numberfini ofde stepssauts. WeNous saydisons thanqu'à inla the limitlimite, aslorsque n approachestend infinityvers l'infini, S<sub>n</sub> approachestend vers 2.
===Paradoxe de Zenon===
Les Grecs anciens avaient un gros problème avec la sommation des séries infinies. Un paradoxe célèbre dû au philosophe Zenon est le suivant :
The ancient Greeks had a big problem with summing infinite series. A famous paradox from the philosopher Zeno is as follows:
Dans le paradoxe d'Achille et la tortue, nous imaginons le héros grec Achille dans une course à pied avec une tortue. Parcequ'il est un coureur très rapide, Achille permet gracieusement à la tortue de commencer la course en tête d'une centaine de mètres. Si nous supposons que chaque coureur commence à courir à une certaine vitesse constante (une très rapide et une très lente), alors après un certain temps fini, Achille aura couru une centaine de mètres, rattrapant le point de départ de la tortue.
In the paradox of Achilles and the tortoise, we imagine the Greek hero Achilles in a footrace with the plodding reptile. Because he is so fast a runner, Achilles graciously allows the tortoise a head start of a hundred feet. If we suppose that each racer start running at some constant speed (one very fast and one very slow), then after some finite time, Achilles will have run a hundred feet, bringing him to the tortoise's starting point.
Pendant ce temps, la tortue a "couru" une distance (plus courte), disons un mètre. Cela prendra à Achille un temps supplémentaire de courir cette distance, pendant lequel la tortue avancera un peu plus; puis un autre temps supplémentaire pour atteindre ce troisième point, tandis que la tortue avancera. Ainsi, lorsque Achille atteindra un endroit quelquepart où la tortue a été, il lui restera encore une distance à parcourir. Par conséquent, comme le dit Zenon, Achille ne pourra jamais rattraper la tortue.
During this time, the tortoise has "run" a (much shorter) distance, say one foot. It will then take Achilles some further period of time to run that distance, during which the tortoise will advance farther; and then another period of time to reach this third point, while the tortoise moves ahead. Thus, whenever Achilles reaches somewhere the tortoise has been, he still has farther to go. Therefore, Zeno says, swift Achilles can never overtake the tortoise.
[[Image:Geometric_series_representationReprésentation série géométrique.png]]
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