« Approfondissements de lycée/Infini et processus infinis » : différence entre les versions

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:la limite de 1/''n'' lorsque ''n'' tend vers l'infini est zéro.
 
NoteNoter thatque wenous aren'avons notpas dividingdivisé 1 bypar infinityl'infini andet gettingdonné thela answerréponse 0. WeNous areavons lettingfais theen numbersorte que le nombre ''n'' getsoit biggerde andplus biggeren andplus sogrand theet reciprocalque getsson closerinverse andtende closerde toplus zero.en Thoseplus 18thvers Centuryzéro. mathematiciansLes lovedmathématiciens thisdu idea18ème becausesiècle itont gotadoré ridcette ofidée theparcequ'elle peskyévitait ideal'abomination of de ''dividingdivision bypar infinityl'infini''. At all times ''n'' remainsreste fini tout le finitetemps. OfBien coursesur, noon matterne howse hugepréoccupe pas de l'énormité de ''n'' is, 1/''n'' willne notsera bepas ''exactlyexactement'' equalégal toà zerozéro, thereil isexiste alwaystoujours aune smallpetite differencedifférence. ThisCette differencedifférence (orou errorerreur) isest usuallygénéralement denotedreprésentée bypar &<math>\epsilon;\,</math> (epsilon).
 
===info -- infiniment petit===
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted purple;">
Lorsque nous parlons d'infini, nous y pensons comme quelque chose d'énorme. Mais il existe aussi l'infiniment petit, représenté par <math>\epsilon\,</math> (epsilon). Cet animal est plus proche de zéro que tout autre nombre. Les mathématiciens utilisent aussi le caractère <math>\epsilon\,</math> pour représenter n'importe quoi de petit. Par exemple, le célèbre mathématicien hongrois Paul Erdos l'utilisait pour faire référence aux petits enfants.
When we talk about infinity, we think of it as something big. But there is also the infinitely small, denoted by &epsilon; (epsilon). This animal is closer to zero than any other number. Mathematicians also use the character &epsilon; to represent anything small. For example, the famous Hungarian mathematician Paul Erdos used to refer to small children as epsilons.
</blockquote>
 
===Exemples===
Regardons la fonction
Lets look at the function
:<math> \frac{x^2 + x}{x^2} </math>
Quelle est la limite lorsque x tend vers l'infini ?
What is the limit as x approaches infinity ?
 
L'idée de limite a ici toute sa valeur. En remplaçant simplement ''x'' avec l'infini, cela nous donne :
This is where the idea of limits really come into its own. Just replacing ''x'' with infinity gives us very little:
:<math> \ \frac{\infty^2 + \infty}{\infty^2} = ? </math>
 
Mais en utilisant les limites, nous pouvons résoudre
But by using limits we can solve it
:<math> \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x}{x^2} = 1 + \lim_{x \to \infty}\frac{ 1}{x} = 1</math>
 
ForPour ournotre seconddeuxième exampleexemple, considerconsidérons thisla limitlimite aslorsque x approachestend infinityvers ofl'infini de <math> x^3 -x^2 </math>
 
AgainDe letsnouveau, lookregardons at thela ''wrongmauvaise'' waymanière tode dole itfaire. SubstitutingEn substituant <math> x = \infty</math> into thedans l'expression, givescela donne <math> \infty^3 -\infty^2 </math>. NoteNoter thatque youvous cannotne saypouvez thatpas thesedire twoque infinitiesces justdeux cancelinfinis outs'annulent topour givedonner thela answerréponse zerozéro.
 
Maintenant, effectuons la manière ''correcte'', en utilisant les limites
Now lets look at doing it the ''correct'' way, using limits
:<math>\lim_{x \to \infty}x^3 -x^2 = \lim_{x \to \infty}x^2(x-1) = \infty </math>