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==Limites : ''comment éviter l'infini''==
La théorie des ensembles infinis nous semble étrange au 21ème siècle, mais au temps de Cantor, elle était détestable pour la plupart des mathématiciens. Dans cette période, l'idée d'infini était trop troublante, ils ont essayé de l'éviter autant que possible.
The theory of infinite sets seems weird to us in the 21st century, but in Cantor's day it was downright unpalatable for most mathematicians. In those days the idea of infinity was too troublesome, they tried to avoid it wherever possible.
 
Malheureusement, la branche mathématique appelée '''analyse''' était destinée a être très utile en mathématiques, physique, ingénierie. C'était un domaine trop utile pour simplement pour l'ignorer parcequ'il était relié à l'infini ou aux processus infinis. Pour contourner ce problème, l'idée de ''limite'' fut inventée.
Unfortunately the mathematical topic called '''analysis''' was found to be highly useful in mathematics, physics, engineering. It was far too useful a field to simply drop yet analysis relies on infinity or at least infinite processes. To get around this problem the idea of a ''limit'' was invented.
 
Considérons la suite
Consider the series
:<math>\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \cdots , \frac{1}{n} \cdots </math>
Cette suite est appelée la suite harmonique.
This series is called the harmonic series.
 
NoteNoter thatque theles termstermes ofde thela seriessuite getdeviennent smallerde andplus smalleren asplus youpetits golorsque furtherleur andnombre furtheraugmente. alongQue these series.passe-t'il Whatsi happensnous if we letrendons n becomeinfini infinite? The termLe wouldterme becomedeviendrait <math> \frac{1}{\infty}</math>
 
Mais ceci n'a pas de sens. (Les mathématiciens considèrent comme mauvais de diviser par l'infini. L'infini n'est pas un nombre usuel, vous ne pouvez pas diviser par lui). Une meilleure manière d'y penser (La manière que vous avez probablement déjà pensé, si vous avez envisagé le problème) est de prendre cette approche :
But this doesn't make sense. (Mathematicians consider it sloppy to divide by infinity. Infinity is not a normal number, you can't divide by it). A better way to think about it (The way you probably already do think about it, if you've ever considered the matter) is to take this approach:
InfinityL'infini isest verytrès biggrand, biggerplus thangrand anyque numbern'importe youquel carenombre toauquel thinkvous aboutpourriez penser. SoDonc, let's letrendons ''n'' becomede biggerplus anden biggerplus andgrand seeet ifregardons si 1/''n'' approachesapproche someun fixedcertain numbernombre fixé. InDans thisce casecas, ascomme ''n'' getsdevient biggerde andplus biggeren plus grand, 1/''n'' getsdevient smallerde andplus smalleren plus petit. SoDonc, itil isest reasonableraisonnable tode saydire thatque thela ''limitlimite'' isest 0.
 
En mathématiques, nous écrivons ceci sous la forme
In mathematics we write this as
:<math> \lim_{n \to \infty} \frac {1}{n} = 0 </math>
et est lue :
and it reads:
:thela limitlimite ofde 1/''n'' aslorsque ''n'' approachestend infinityvers isl'infini est zerozéro.
 
Note that we are not dividing 1 by infinity and getting the answer 0. We are letting the number ''n'' get bigger and bigger and so the reciprocal gets closer and closer to zero. Those 18th Century mathematicians loved this idea because it got rid of the pesky idea of ''dividing by infinity''. At all times ''n'' remains finite. Of course, no matter how huge ''n'' is, 1/''n'' will not be ''exactly'' equal to zero, there is always a small difference. This difference (or error) is usually denoted by &epsilon; (epsilon).