« Approfondissements de lycée/Infini et processus infinis » : différence entre les versions
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==Limites : ''comment éviter l'infini''==
La théorie des ensembles infinis nous semble étrange au 21ème siècle, mais au temps de Cantor, elle était détestable pour la plupart des mathématiciens. Dans cette période, l'idée d'infini était trop troublante, ils ont essayé de l'éviter autant que possible.
Malheureusement, la branche mathématique appelée '''analyse''' était destinée a être très utile en mathématiques, physique, ingénierie. C'était un domaine trop utile pour simplement pour l'ignorer parcequ'il était relié à l'infini ou aux processus infinis. Pour contourner ce problème, l'idée de ''limite'' fut inventée.
Considérons la suite
:<math>\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \cdots , \frac{1}{n} \cdots </math>
Cette suite est appelée la suite harmonique.
Mais ceci n'a pas de sens. (Les mathématiciens considèrent comme mauvais de diviser par l'infini. L'infini n'est pas un nombre usuel, vous ne pouvez pas diviser par lui). Une meilleure manière d'y penser (La manière que vous avez probablement déjà pensé, si vous avez envisagé le problème) est de prendre cette approche :
En mathématiques, nous écrivons ceci sous la forme
:<math> \lim_{n \to \infty} \frac {1}{n} = 0 </math>
et est lue :
:
Note that we are not dividing 1 by infinity and getting the answer 0. We are letting the number ''n'' get bigger and bigger and so the reciprocal gets closer and closer to zero. Those 18th Century mathematicians loved this idea because it got rid of the pesky idea of ''dividing by infinity''. At all times ''n'' remains finite. Of course, no matter how huge ''n'' is, 1/''n'' will not be ''exactly'' equal to zero, there is always a small difference. This difference (or error) is usually denoted by ε (epsilon).
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