« Approfondissements de lycée/Infini et processus infinis » : différence entre les versions

Rappelez-vous <math>\mathbb{R'}\,</math>, que nous avons défini plus tôt comme l'ensemble des nombres sur un segment compris entre 0 et 1. Considérons l'ensemble de tous les nombres dans le carré entre les points du plan [0,0] et [1,1]. Au premier abord, il semblerait évident qu'il doit y avoir beaucoup plus de points sur le carré qu'il en existe sur une ligne. Mais, en mathématiques transfinies, l'"évident" n'est pas toujours vrai et la démonstration est la seule manière de le voir. Cantor dépensa trois années à essayer de démontrer que c'était vrai mais il échoua. Sa raison pour l'échec était la meilleure possible. C'est faux.

 

 

Chaque point dans ce carré est défini par deux nombres, l'abscisse et l'ordonnée; x et y tous deux le long de <math>\mathbb{R}\,</math>. Considérons un point du segment. <math>0,a_1 a_2 a_3 a_4 \ldots\,</math>. Pouvez-vous penser à une manière d'utiliser ce seul nombre pour définir un point dans le carré ? De même, pouvez-vous penser à une manière de combiner les deux nombres <math>x = 0,x_1 x_2 x_3 x_4\ldots\,</math> et <math>y = 0,y_1y_2y_3y_4\ldots\,</math> pour définir un point sur le segment ? (penser à cela avant de lire la suite)