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« Approfondissements de lycée/Infini et processus infinis » : différence entre les versions

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Nous avons fait ce que nous voulions. Nous avons construit un nombre qui est dans <math>\mathbb{R}\,</math> mais qui n'est pas dans la "liste de tous les éléments de <math>\mathbb{R}\,</math>". Ceci veut dire que <math>\mathbb{R}\,</math> est plus grand que n'importe quelle liste. Il ne peut pas être listé. Il n'est pas dénombrable. Il est infini plus grand que <math>\mathbb{Q}\,</math>.
 
===Existe-t'il même des infinis plus grands ?===
 
Ils existent mais ils sont difficiles à décrire. L'ensemble de toutes les combinaisons possibles de n'importe quel nombre de nombres réels est un infini "plus grand" que <math>\mathbb{R}\,</math>. Néanmoins, imaginer un tel ensemble embrouille l'esprit. Regardons à la place un ensemble qui semblerait plus grand que <math>\mathbb{R}\,</math> mais qui ne l'est pas.
There are but they are difficult to describe. The set of all the possible combinations of any number of real numbers is a bigger infinity than R. However trying to imagine such a set is mind boggling. Let's look instead at a set that looks like it should be bigger than R but turns out not to be.
 
Rappelez-vous <math>\mathbb{R'}\,</math>, que nous avons défini plus tôt comme l'ensemble des nombres sur un segment compris entre 0 et 1. Considérons l'ensemble de tous les nombres dans le carré entre les points du plan [0,0] et [1,1]. Au premier abord, il semblerait évident qu'il doit y avoir beaucoup plus de points sur le carré qu'il en existe sur une ligne. Mais, en mathématiques transfinies, l'"évident" n'est pas toujours vrai et la démonstration est la seule manière de le voir. Cantor dépensa trois années à essayer de démontrer que c'était vrai mais il échoua. Sa raison pour l'échec était la meilleure possible. C'est faux.
Remember R', which we defined earlier on as the set of all numbers on the number line between 0 and 1. Let us now consider the set of all numbers in the plane from [0,0] to [1,1]. At first sight it would seem obvious that there must be more points on the whole plane than there are in a line. But in transfinite mathematics the "obvious" is not always true and proof is the only way to go. Cantor spent three years trying to prove it true but failed. His reason for failure was the best possible. It's false.
 
[[Image:Points_on_a_line_and_a_planePoints_sur_un_segment_et_un_carré.png]]
 
Chaque point dans ce carré est défini par deux nombres, l'abscisse et l'ordonnée; x et y tous deux le long de <math>\mathbb{R}\,</math>. Considérons un point du segment. <math>0,a_1 a_2 a_3 a_4 \ldots\,</math>. Pouvez-vous penser à une manière d'utiliser ce seul nombre pour définir un point dans le carré ? De même, pouvez-vous penser à une manière de combiner les deux nombres <math>x = 0,x_1 x_2 x_3 x_4\ldots\,</math> et <math>y = 0,y_1y_2y_3y_4\ldots\,</math> pour définir un point sur le segment ? (penser à cela avant de lire la suite)
Each point in this plane is specified by two numbers, the x coordinate and the y coordinate; x and y both belong to R. Lets consider one point in the line. 0.a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>a<sub>3</sub>a<sub>4</sub>.... Can you think of a way of using this one number to specify a point in the plane ? Likewise can you think of a way of combining the two numbers x= 0.x<sub>1</sub>x<sub>2</sub>x<sub>3</sub>x<sub>4</sub>.... and y= 0.y<sub>1</sub>y<sub>2</sub>y<sub>3</sub>y<sub>4</sub>.... to specify a point on the line? (think about it before you read on)
 
Une manière de le faire est de prendre
One way is to do it is to take
:a<sub>1</submath>a_1 = x<sub>1x_1\,</submath>
:a<sub>2</submath>a_2 = y<sub>1y_1\,</submath>
:a<sub>3</submath>a_3 = x<sub>2x_2\,</submath>
:a<sub>4</submath>a_4 = y<sub>2y_2\,</submath>
:.
:.
:.
 
Ceci définit une bijection entre les points du carré et les points du segment.
This defines a one to one correspondence between the points in the plane and the points in the line. (Actually, for the sharp amongst you, not quite one to one. Can you spot the problem and how to cure it?)
 
====Exercices====
#ProveDémontrer theque thele numbernombre ofde points indans aun cube isest thele samemême asque thele numbernombre ofde points onsur onel'un ofde itsses sidescotés.
 
===L'hypothèse du continu===
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