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« Approfondissements de lycée/Infini et processus infinis » : différence entre les versions

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===Comment pouvons-nous démontrer que R est plus grand que Q===
C'est bien d'avoir de ressentir les différences de tailles des infinis de la section précédente. Mais pour être réellement sûrs, nous devons avoir une démonstration. Pour démontrer que <math>\mathbb{R}\,</math> est plus grand que <math>\mathbb{Q}\,</math>, nous utilisons une méthode classique. Nous supposons que <math>\mathbb{R}\,</math> est de même taille que <math>\mathbb{Q}\,</math> et nous arrivons à une contradiction. Pour l'exigence de la clarté, nous restreindrons notre démonstration aux nombres réels entre 0 et 1. Nous appellerons cet ensemble <math>\mathbb{R'}\,</math>. De façon claire, si nous pouvons démontrer que <math>\mathbb{R'}\,</math> est plus grand que <math>\mathbb{Q}\,</math> alors <math>\mathbb{R}\,</math> doit être plus grand que <math>\mathbb{Q}\,</math> également.
It's good to get a feel for the size of infinities as in the previous section. But to be really sure we have to come up with some form of proof. In order to prove that R is bigger than Q we use a classic method. We assume that R is the same size as Q and come up with a contradiction. For the sake of clarity we will restrict our proof to the real numbers between 0 and 1.We will call this set R' Clearly if we can prove that R' is bigger than Q then R must be bigger than Q also.
 
Si <math>\mathbb{R'}\,</math> était de la même taille que <math>\mathbb{Q}\,</math>, cela signifierait qu'il est dénombrable. Ceci veut dire que nous serions capable d'écrire sous une certaine liste, tous les éléments de <math>\mathbb{R}\,</math> (c'est ce que dénombrable veut dire, comme nous avons fait avec tous nos ensembles infinis précédents). Considérons cette liste.
If R' was the same size as Q it would mean that it is countable. This means that we would be able to write out some form of list of all the members of R (This is what countable means, so far we have managed to write out all our infinite sets in the form of an infinitely long list). Let's consider this list.
 
:R<submath>1R_1\,</submath>
:R<submath>2R_2\,</submath>
:R<submath>3R_3\,</submath>
:R<submath>4R_4\,</submath>
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Où <math>R_1\,</math> est le premier nombre de notre liste, <math>R_2\,</math> est le deuxième, et ainsi de suite. Noter que nous n'avons pas indiqué l'ordre d'écriture de la liste. Pour cette démonstration, nous n'avons pas besoin de l'indiquer, seulement que les éléments de <math>\mathbb{R}\,</math> peuvent être mis en liste (et donc, dénombrables).
Where R<sub>1</sub> is the first number in our list, R<sub>2</sub> is the second, and so on. Note that we haven't said what order the list is to be written. For this proof we don't need to say what the order of the list needs to be, only that the mermbers of R are listable (hence countable).
 
Maintenant, écrivons le développement décimal de chaque élément de la liste.
Now lets write out the decimal expansion of each of the numbers in the list.
 
:<math>0,r_{11} r_{12} r_{13} r_{14} \ldots\,</math>
:0.r<sub>11</sub>r<sub>12</sub>r<sub>13</sub>r<sub>14</sub>...
:<math>0,r_{21} r_{22} r_{23} r_{24} \ldots\,</math>
:0.r<sub>21</sub>r<sub>22</sub>r<sub>23</sub>r<sub>24</sub>...
:<math>0,r_{31} r_{32} r_{33} r_{34} \ldots\,</math>
:0.r<sub>31</sub>r<sub>32</sub>r<sub>33</sub>r<sub>44</sub>...
:<math>0,r_{41} r_{42} r_{43} r_{44} \ldots\,</math>
:0.r<sub>41</sub>r<sub>42</sub>r<sub>43</sub>r<sub>44</sub>...
:.
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:.
 
Où <math>r_{11}\,</math> signifie le premier chiffre après la virgule du premier nombre de la liste. Donc, si notre premier nombre est 0,36921... <math>r_{11}\,</math> serait 3, <math>r_{12}\,</math> serait 6 et ainsi de suite. Rappelez-vous que cette liste est sensée être complète. Par ceci, cela veut dire qu'elle contient ''chaque'' élément de <math>\mathbb{R'}\,</math>. Ce que nous devons faire pour démontrer que <math>\mathbb{R}\,</math> n'est pas dénombrable, c'est de construire un nombre qui n'est pas déjà dans la liste. Puisque la liste est supposée contenir ''chaque'' élément de <math>\mathbb{R'}\,</math>, ceci causera une contradiction et par conséquent montrera que l'on ne peut pas lister <math>\mathbb{R'}\,</math>.
Here r<sub>11</sub> means the first digit after the decimal point of the first number in the list. So if our first number happened to be 0.36921... r<sub>11</sub> would be 3, r<sub>12</sub> would be 6 and so on. Remember that this list is meant to be complete. By that we mean that it contains ''every'' member of R'. What we are going to do in order to prove that R is not countable is to construct a number that is not already on the list. Since the list is supposed to contain ''every'' member of R', this will cause a contradiction and therfore show that R' is unlistable.
 
Pour construire ce nombre non compris dans la liste, nous choisissons une représentation décimale :
In order to construct this unlisted number we choose a decimal representation:
 
:<math>0,a_1 a_2 a_3 a_4 \ldots\,</math>
:0.a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>a<sub>3</sub>a<sub>4</sub>...
 
WhereOù a<submath>1a_1\,</submath> isest thele firstpremier digitchiffre afteraprès thela pointvirgule etc.
 
WeNous letsupposons que a<submath>1a_1\,</submath> takeprend n'importe anyquelle valuevaleur fromde 0 -à 9 inclusiveinclus ''exceptexcepté'' thele digitchiffre r<submath>r_{11}\,</submath>. SoDonc, ifsi r<submath>r_{11</sub>} = 3</math> thenalors a<submath>1a_1\,</submath> canpeut beêtre 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, orou 9. Puis, Thennous wesupposont letque a<submath>2a_2\,</submath> besoit anyn'importe digitquel exceptchiffre excepté r<submath>r_{22}\,</submath> (thele seconddeuxième digitchiffre ofdu thedeuxième secondnombre numberde onla the listliste). ThenPuis a<submath>3a_3\,</submath>, bele anytroisième digitchiffre exceptexcepté r<submath>r_{33}\,</submath> andet ainsi sode onsuite.
 
Maintenant, si ce nombre, que nous venons de construire ''était'' quelquepart dans la liste alors il serait égal à <math>\mathbb{R_{\alpha}}\,</math> (où <math>\alpha\,</math> est n'importe quel nombre). Regardons ce à quoi <math>\mathbb{R_{\alpha}}\,</math> peut être égal. Il ne peut pas être égal à <math>R_1\,</math> parcequ'il possède un premier chiffre différent (<math>r_{11}\,</math> et <math>a_1\,</math>). Il ne peut pas non plus être égal à <math>R_2\,</math> parcequ'il possède un deuxième chiffre différent, et ainsi de suite. En fait, il ne peut pas être égal à ''n'importe'' quel nombre de la liste because il diffère par au moins un chiffre de ''tous'' ceux-là.
Now if this number, that we have just constructed ''were'' on the list somewhere then it would have to be equal to R<sub>something</sub>. Let's see what R<sub>something</sub> it might be equal to. It can't be equal to R<sub>1</sub> because it has a different first digit (r<sub>11</sub> and a<sub>1</sub>. Nor can it be equal to R<sub>2</sub> because it has a different second digit, and so on. In fact it can't be equal to ''any'' number on the list becuse it differs by at least one digit from ''all'' of them.
 
Nous avons fait ce que nous voulions. Nous avons construit un nombre qui est dans <math>\mathbb{R}\,</math> mais qui n'est pas dans la "liste de tous les éléments de <math>\mathbb{R}\,</math>". Ceci veut dire que <math>\mathbb{R}\,</math> est plus grand que n'importe quelle liste. Il ne peut pas être listé. Il n'est pas dénombrable. Il est infini plus grand que <math>\mathbb{Q}\,</math>.
We have done what we set out to do. We have constructed a number that is in R but is not on the "list of all members of R". This means that R is bigger than any list. It is not listable. It is not countable. It is a bigger infinity than Q.
 
===Existe-t'il même des infinis plus grands ?===
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