« Approfondissements de lycée/Infini et processus infinis » : différence entre les versions

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===L'ensemble des nombres rationnels est plus grand que N ?===
Dans ce chapitre, nous regarderons si nous pouvons trouver un ensemble qui est '''plus grand''' que l'infini dénombrable que nous venons d'examiner. Pour illustrer cette idée, nous pouvons imaginer une histoire.
In this section we will look to see if we can find a set that is '''bigger''' than the countable infinity we have looked at so far. To illustrate the idea we can imagine a story.
 
ThereIl wasétait onceune afois criminalun whocriminel wentqui toalla en prison. TheCe prisonn'était waspas notun abel niceendroit, placele sopauvre thecriminel poorrencontra criminaldonc wentle todirecteur thede la prison masteret andlui pleadeddemanda tosa beliberté. let out.Il Sherépondit replied:
 
''"Oh all rightd'accord - I'mJe thinkingpense ofà aun numbernombre, everychaque dayjour youtu canpeut haveessayer ade gole at guessing itdeviner. IfSi you get itc'est correct, youtu canpeux leavepartir."''
 
NowMaintenant, thela question isest - canle thecriminel criminalpeut-il getsortir himselfde outlui ofmême jail?de (Thinkla aboutprison if? (réfléchir forun apeu whileavant beforede youlire readla onsuite)
 
ObviouslyEvidemment, itcela dependsdépend ondu the numbernombre. IfSi thele prisondirecteur masterde choosesprison choisit aun naturalnombre numbernaturel, thenalors thele criminalcriminel guessessuppose 1, tole firstpremier dayjour, 2,the secondle daydeuxième andjour soet onainsi untilde hesuite reachesjusqu'à thece correctqu'il numbertrouve le nombre correct. LikewiseDe formême thepour integersles 0entiers, on0 thele firstpremier dayjour, -1 onle thedeuxième second dayjour. 1 onle thetroisième thirdjour dayet andainsi sode onsuite. IfSi thele numbernombre isest verytrès largegrand, thenalors itcela maypeut takeprendre aun long time tomoment getpour outsortir ofde prison butmais getil outpourra hele willfaire.
 
WhatCe thedont prisonà masterbesoin needsle todirecteur dode isprison, choosec'est ade setchoisir thatun isensemble notqui countablen'est inpas thisdénombrable wayde cette manière. ThinkPensez ofà aun numberaxe linegradué. The integersLes areentiers widelysont spacedlargement outespacés. ThereIl areexiste plentyune ofquantité numbersde inbetweennombres thecompris integersentre les entiers 0& et 5 forpar exampleexemple. SoDonc, wenous needdevons tonous lookoccuper atd'ensemble ''denserplus denses'' sets. TheLe firstpremier setexemple thatqui springsvient toen mosttête peoplesà mindla areplupart thedes gens est celui des fractions. ThereIl areexiste anun infinitenombre numberinfini ofde fractions betweenentre 0 andet 1 sodonc surelyassurément, thereil areexiste moreplus de fractions thanque d'entiers integers? Is itEst-il possible tode countdénombrer les fractions ? Let'sImaginons thinkcette aboutpossibilité thatun possibility for a whileinstant. If we try to useSi thenous approachessayons ofde countingdénombrer alltoutes theles fractions betweenentre 0 &et 1 thenpuis go on toentre 1 -et 2 andet soainsi onde wesuite, willnous comeallons unstuckêtre becuasebloqués weparceque willnous nevern'aurons finishjamais countingfini thede onescompter upcelles toqui précèdent 1 (il thereen areexiste anune infinite number of theminfinité). ButMais doescela thisveut-il meandire thatqu'elles theysont are uncountablenon-dénombrables ? ThinkPensez ofà thela situation withavec les the integersentiers. OrderingLes themordonner ...-2, -1, 0, 1, 2, ... rendersles themrendaient impossibleimpossibles toà countdénombrer, butmais les ''reorderingréordonner'' them 0, -1, 1, -2, 2, ... allows thempermettait tode beles countedcompter.
 
En fait, il existe une manière d'ordonner les fractions pour permettre de les dénombrer. Avant d'aller plus avant, revenons à un langage mathématique normal. Les mathématiciens utilisent le terme ''nombre rationnel'' pour définir ce que nous avons appelé fractions. Un nombre rationnel est n'importe quel nombre qui peut être écrit sous la forme p/q où p et q sont des nombres entiers. Ainsi, 3/4 est rationnel comme l'est -1/2, l'ensemble des nombres rationnels est généralement noté <math>\mathbb{Q}\,</math> . Noter que <math>\mathbb{Z}\,</math> est un sous-ensemble de <math>\mathbb{Q}\,</math> parceque tout entier peut être divisé par 1, pour le rendre rationnel. C.a.d. le nombre 3 peut être écrit sous la forme p/q comme 3/1.
There is in fact a way of ordering fractions to allow them to be counted. Before we go on to it let's revert to the normal mathematical language. Mathematicians use the term ''rational number'' to define what we have been calling fractions. A rational number is any number that can be written in the form p/q where p and q are integers. So 3/4 is rational as is -1/2, The set of all rational numbers is usally called Q. Note that Z is a subset of Q becuase any integer can be divided by 1 to make it into a rational. E.g. the number 3 can be written in the form p/q as 3/1.
 
Maintenant, comme tous les nombre dans <math>\mathbb{Q}\,</math> sont définis par deux nombres p et q, il est commode d'écrire <math>\mathbb{Q}\,</math> sous la forme d'une table.
Now as all the numbers in Q are defined by two numbers p and q it makes sense to write Q out in the form of a table.
 
<math>\begin{matrix}\frac{1}{1} & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \cdots\\ & & \\\frac{2}{1} & \frac {2}{2} & \frac{2}{3} & \cdots\\ & & \\\frac{3}{1} & \frac{3}{2} & \frac{3}{3} & \cdots\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{matrix}</math>
 
Noter que cette table n'est pas une représentation exacte de <math>\mathbb{Q}\,</math>. Elle possède seulement les éléments positifs de <math>\mathbb{Q}\,</math> et un nombres d'entrées multiples.(c.a.d. 1/1 et 2/2 sont le même nombre). Nous appelerons cet ensemble <math>\mathbb{Q'}\,</math>. Il est suffisamment simple de voir que si <math>\mathbb{Q'}\,</math> est dénombrable, alors <math>\mathbb{Q}\,</math> l'est aussi.
Note that this table isn't an exact representation of Q. It only has the positive members of Q and has a number of multiple entries.( e.g. 1/1 and 2/2 are the same number) We shall call this set Q'. It is simple enough to see that if Q' is countable then so is Q.
 
SoComment howallons-nous dofaire wepour go about countingdénombrer <math>\mathbb{Q'}\,</math> ? IfSi wenous tryessayons countingde thedénombrer firstla rowpremière thenligne thepuis secondla anddeuxième soet onainsi wede willsuite, failnous becauseéchouerons theparceque rowsles arelignes infinitesont inde lengthlongueurs infinies. LikewiseDe ifmême, wesi trynous toessayons countde columns.compter Butles colonnes. lookMais atregardons theles diagonalsdiagonales. InDans oneune direction, theyelles aresont infiniteinfinies ( ec.a.gd. 1/1, 2/2, 3/3, ...) butmais indans the otherl'autre direction, theyelles aresont finitefinies. SoDonc, thiscet setensemble isest countabledénombrable. WeNous les countcomptons themle alonglong thedes finitediagonales diagonalsfinies, 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1....
 
====Exercices====
# Adapter la méthode de dénombrement de <math>\mathbb{Q'}\,</math> pour montrer que <math>\mathbb{Q}\,</math> est aussi dénombrable. Comment incluerez-vous 0 et les rationnels négatifs ? Comment résoudrez-vous le problème des entrées multiples qui représentent le même nombre ?
# Adapt the method of counting the set Q' to show that thet Q is also countable. How will you include 0 and the negative rationals? How will you solve the problem of multiple entries representing the same number ?
# ShowMontrer thatque <math> \infty \times \infty = \infty </math> (providedissu thatdu thefait infinitesque areles bothinfinis countablesont tous les deux dénombrables)
 
===Pouvons-nous trouver des ensembles plus grands que N ?===