Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Similitudes planes

• Une transformation est une bijection du plan sur lui-même : tout point du plan admet une et une seule image, ainsi qu'un unique antécédent.

• Toute similitude plane est caractérisée par une écriture complexe du type $\displaystyle z'=az+b$ ou $z'=a{\bar {z}}+b~(a\in \mathbb {C} ^{*},b\in \mathbb {C} )$

• Si $z'=az+b$ : $S$ est une similitude directe et elle conserve les angles orientés.
  Si $\scriptstyle z'=a{\bar {z}}+b$ : $S$ est une similitude indirecte et elle change l'orientation des angles.

• Soit $S(\Omega ,k,\theta )$ une similitude telle que $z'=az+b~(a\in \mathbb {C} ^{*},b\in \mathbb {C} )$
  • son centre $\Omega$ est tel que $\omega ={\frac {b}{1-a}}$
  • son rapport $k$ est tel que $\displaystyle k=|a|$
  • son angle $\theta$ est tel que $\displaystyle \theta =\arg a$

• La similitude $S(\Omega ,k,\theta )$ est la composée comutative de $h(\Omega ,k)$ et de $r(\Omega ,\theta )$
  $S(\Omega ,k,\theta )=r(\Omega ,\theta )\circ h(\Omega ,k)=h(\Omega ,k)\circ r(\Omega ,\theta )$

• Si $s(\Omega ,k,\theta )$ est une similitude directe, alors $s^{n}=\underbrace {s\circ s\circ s\circ \ldots \circ s} _{n{\text{ fois}}}$ est une similitude directe : $s^{n}(\Omega ,k^{n},n\theta \,[2\pi ])$

• Il existe une seule similitude directe $s$ tq $\textstyle s:{A\longrightarrow A' \atop B\longrightarrow B'}$ quand $\scriptstyle A\neq B$ et $\scriptstyle A'\neq B'$
  On sait alors que $k={\frac {A'B'}{AB}}$ et $\theta =({\vec {AB}},{\vec {A'B'}})$