Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Rappel sur les suites

Suites arithmétiques

• Une suite $(u_{n})$ est une suite arithmétique de raison $r$ lorsqu'elle est définie par un de ses termes et une relation du type $\scriptstyle \mathbf {u_{n+1}=u_{n}+r}$ (où $\scriptstyle r\in \mathbb {R}$).

• Une suite arithmétique de raison non nulle est une suite divergente.

• Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique :

$S=u_{0}+u_{1}+\ldots +u_{n-1}+u_{n}=(n+1)\times {\frac {u_{0}+u_{n}}{2}}$
$S_{(p,n)}=u_{p}+u_{p+1}+\ldots +u_{n-1}+u_{n}=(n-p+1)\times {\frac {u_{p}+u_{n}}{2}}$

Suites géométriques

• Une suite $(u_{n})$ est géométrique de raison $q$ lorsqu'elle est définie par un de ses termes et une relation du type $\scriptstyle \mathbf {u_{n+1}=q\cdot u_{n}}$ (où $\scriptstyle q\in \mathbb {R}$).

$u_{n}=u_{0}\cdot q^{n}$
$u_{n}=u_{p}\cdot q^{n-p}$

Attention ! Si la suite commence à n=1 : $\scriptstyle u_{n}=u_{1}\cdot q^{n-1}$

• $(u_{n})$ est géométrique de raison $q$
  • Si $q<0$ : $(u_{n})$ non monotone
  • Si $u_{0}>0$ et $0<q<1$ : $(u_{n})$ décroît
    Si $u_{0}>0$ et $q>1$ : $(u_{n})$ croît
  • Si $u_{0}<0$ et $0<q<1$ : $(u_{n})$ croît
    Si $u_{0}<0$ et $q>1$ : $(u_{n})$ décroît

• Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique :

$\scriptstyle (\forall q\neq 1)~\displaystyle S=u_{0}+u_{1}+\ldots +u_{n-1}+u_{n}=u_{0}\times {\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}$