Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Produit scalaire - droites et plans de l'espace

Produit scalaire dans le plan

• ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=\|{\vec {u}}\|\cdot \|{\vec {v}}\|\cdot cos({\vec {u}};{\vec {v}})=\,{\frac {1}{2}}\,\left[{\|{\vec {u}}+{\vec {v}}\|^{2}-\|{\vec {u}}\|^{2}-\|{\vec {v}}\|^{2}}\right]$

• ${\text{si }}{\vec {u}}{\tbinom {x}{y}}{\text{ et }}{\vec {v}}{\tbinom {x'}{y'}}{\text{ alors }}{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=xx'+yy'$

• $({\vec {u}}+{\vec {v}})^{2}=\|{\vec {u}}\|^{2}+2\,{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}+\|{\vec {v}}\|^{2}$
  $({\vec {u}}-{\vec {v}})^{2}=\|{\vec {u}}\|^{2}-2\,{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}+\|{\vec {v}}\|^{2}$
  $({\vec {u}}+{\vec {v}})\cdot ({\vec {u}}-{\vec {v}})=\|{\vec {u}}\|^{2}-\|{\vec {v}}\|^{2}$

• Distance entre un point et une droite :
  $d(A,{\mathcal {D}})={\frac {|ax_{A}+by_{A}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Rappels dans l'espace

• $G\,bds(A(\alpha ),B(\beta )){\text{ alors }}G({\frac {\alpha x_{A}+\beta x_{B}}{\alpha +\beta }},{\frac {\alpha y_{A}+\beta y_{B}}{\alpha +\beta }},{\frac {\alpha z_{A}+\beta z_{B}}{\alpha +\beta }})$

• Si ${\vec {u}}(\alpha ,\beta ,\gamma )$ et ${\vec {v}}(\alpha ',\beta ',\gamma ')$ sont colinéaires, alors $\exists k\in \mathbb {R}$ tq ${\vec {u}}=k\cdot {\vec {v}}$, c'est-à-dire : ${\begin{cases}\alpha =k\cdot \alpha '\\\beta =k\cdot \beta '\\\gamma =k\cdot \gamma '\end{cases}}$

• ${\vec {u}}(\alpha ,\beta ,\gamma ),{\vec {v}}(\alpha ',\beta ',\gamma '),{\vec {w}}(\alpha '',\beta '',\gamma '')$ coplanaires si et seulement si ${\begin{cases}({\vec {u}},{\vec {v}}){\text{ non colinéaires}}\\\exists (\lambda ,\mu ){\text{ tq }}{\vec {w}}=\lambda {\vec {u}}+\mu {\vec {v}}\end{cases}}$

• ${\text{si }}{\vec {u}}={\vec {AB}},{\vec {v}}={\vec {AC}},{\vec {w}}={\vec {AD}}:$
  ${\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}{\text{ coplanaires }}\Leftrightarrow A,B,C{\text{ et }}D{\text{ coplanaires}}$

Orthogonalité dans le plan

• Une droite ${\mathcal {D}}$ est orthogonale à un plan ${\mathcal {P}}$ si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

• Deux droites de l'espace sont orthogonales si et seulement si leurs parallèles passant par un point commun sont perpendiculaires.

• Si une droite ${\mathcal {D}}$ est orthogonale à un plan ${\mathcal {P}}$, alors ${\mathcal {D}}$ est orthogonale à toute droite incluse dans ${\mathcal {P}}$.

• Deux plans de l'espace sont perpendiculaires si et seulement si ${\vec {n}}$ vecteur orthogonal à ${\mathcal {P}}$ et ${\vec {n}}'$ vecteur orthogonal à ${\mathcal {P}}'$ sont orthogonaux.

• Si ${\vec {n}}$ vecteur orthogonal à ${\mathcal {P}}:ax+by+cz+d=0$, alors $\|{\vec {n}}\|={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

• Distance d'un point de l'espace à un plan de l'espace :
  $d(A(x_{A},y_{A},z_{A}),{\mathcal {P}}:ax+by+cz+d=0)={\frac {|ax_{A}+by_{A}+cz_{A}+d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

Sphère dans l'espace

• $M(x,y,z)\in {\mathcal {S}}(\Omega ,r)\Leftrightarrow \Omega M^{2}=r^{2}$

• La sphère de diamètre $[AB]$ est l'ensemble des points de l'espace tel que ${\vec {AM}}\cdot {\vec {BM}}=0$

• Tout comme la droite, le cercle n'a pas d'équation cartésienne dans l'espace !

• ${\text{Si }}A\in {\mathcal {D}}{\text{ et }}{\vec {u}}(\alpha ,\beta ,\gamma ){\text{ dirige }}{\mathcal {D}}{\text{, alors : }}{\begin{cases}x=x_{A}+k\alpha \\y=y_{A}+k\beta \\z=z_{A}+k\gamma \end{cases}},k\in \mathbb {R} \quad {\text{ est le système paramétrique de }}{\mathcal {D}}=(A,{\vec {u}})$