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Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Logarithme népérien
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Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique
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Mathématiques
f
:
x
⟶
y
=
l
n
x
{\displaystyle f:x\longrightarrow y=ln\,x}
est une fonction définie sur
R
+
∗
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{+*}}
, à valeurs dans
R
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }
dtsq
y
=
l
n
x
⇔
x
=
e
y
{\displaystyle y=ln\,x\Leftrightarrow x=e^{y}}
e
l
n
x
=
x
{\displaystyle e^{lnx}=x}
et
l
n
e
x
=
x
{\displaystyle ln\,e^{x}=x}
La fonction
x
⟶
l
n
x
{\displaystyle \scriptstyle x\longrightarrow ln\,x}
est strictement croissante sur
R
+
∗
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{+*}}
et
(
l
n
x
)
′
=
1
x
{\displaystyle (ln\,x)'={\frac {1}{x}}}
∀
a
∈
R
+
∗
,
∀
b
∈
R
+
∗
{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} ^{+*},\forall b\in \mathbb {R} ^{+*}}
:
a
<
b
⇔
l
n
a
<
l
n
b
{\displaystyle a<b\Leftrightarrow ln\,a<ln\,b}
a
=
b
⇔
l
n
a
=
l
n
b
{\displaystyle a=b\Leftrightarrow ln\,a=ln\,b}
l
n
x
>
0
⇔
x
>
1
{\displaystyle ln\,x>0\Leftrightarrow x>1}
l
n
x
<
0
⇔
0
<
x
<
1
{\displaystyle ln\,x<0\Leftrightarrow 0<x<1}
lim
x
→
0
+
l
n
x
=
−
∞
{\displaystyle \lim \limits _{x\to 0^{+}}ln\,x=-\infty }
Les courbes
C
e
x
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{e^{x}}}
et
C
l
n
x
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{ln\,x}}
sont symétriques par rapport à
Δ
:
y
=
x
{\displaystyle \displaystyle \Delta :y=x}
∀
a
∈
R
+
∗
,
∀
b
∈
R
+
∗
,
∀
n
∈
N
∗
:
{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} ^{+*},\forall b\in \mathbb {R} ^{+*},\forall n\in \mathbb {N} ^{*}:}
l
n
a
+
l
n
b
=
l
n
(
a
b
)
{\displaystyle ln\,a+ln\,b=ln(ab)}
l
n
1
a
=
−
l
n
a
{\displaystyle ln\,{\frac {1}{a}}=-ln\,a}
l
n
a
−
l
n
b
=
l
n
a
b
{\displaystyle ln\,a-ln\,b=ln\,{\frac {a}{b}}}
l
n
(
a
n
)
=
n
l
n
a
{\displaystyle ln\,(a^{n})=n\,ln\,a}
∀
a
∈
R
+
∗
:
l
n
(
a
)
=
1
2
l
n
a
{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} ^{+*}:ln\,({\sqrt {a}})={\frac {1}{2}}\,ln\,a}
(
l
n
u
)
′
=
u
′
u
{\displaystyle (ln\,u)'={\frac {u'}{u}}}
lim
x
→
+
∞
l
n
x
x
=
0
+
{\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }{\frac {ln\,x}{x}}=0^{+}}
lim
x
→
0
+
x
l
n
x
=
0
−
{\displaystyle \lim \limits _{x\to 0^{+}}x\,ln\,x=0^{-}}
lim
x
→
1
l
n
x
x
−
1
=
1
{\displaystyle \lim \limits _{x\to 1}{\frac {ln\,x}{x-1}}=1}