Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Fonction exponentielle

La fonction exponentielle est une fonction continue et infiniment dérivable en tout point de son domaine de définition (c'est une courbe lisse), croissante ou décroissante, et dont le taux d'accroissement en tout point est proportionnel à la valeur en ce point. Le coefficient de proportionnalité, positif ou négatif, est bien sûr constant sur tout l'intervalle de définition, qui peut être la droite réelle en entier, cas le plus fréquent en mathématiques, ou seulement un segment de celle-ci, cas d'un domaine d'application restreint.

Pour la fonction exponentielle proprement dite (aussi appelée "forme canonique" par rapport à la forme généralisée, sous-entendu par transformation géométrique, voir dernière section), le coefficient de proportionnalité est égal à l'unité. Modifier ce coefficient de proportionnalité revient à opérer une dilation de l'axe des abscisses ; cette opération permet de définir une famille de fonctions, qu'on appelle les fonctions exponentielles, tout simplement.

Ces fonctions exponentielles sont un modèle universellement utilisé dans toutes les sciences quantitatives.

Équations différentielles

La propriété décrite en introduction se traduit techniquement sous la forme d'une équation différentielle.

• Une équation différentielle est une équation dans laquelle l'inconnue est une fonction, généralement notée $y$, et dans laquelle intervient la dérivée première de cette fonction, alors notée $y'$. La propriété de l'introduction stipule simplement que $y'$ et $y$ sont, sur le domaine de définition, proportionnels l'un à l'autre.

• Il existe une unique fonction dérivable sur $\mathbb {R}$, solution du système différentiel $\scriptstyle \left\{\!{\!\!\!\!y'=y \atop y(0)=1}\right.$. Cette fonction est appelée la fonction exponentielle, et elle est notée $\exp(x)$ ; on peut montrer qu'elle est identique à l'opération d'élévation à la puissance d'une constante notée $\mathrm {e}$ par la variable $x$, soit $\mathrm {e} ^{x}$.

• Le système différentiel $\scriptstyle \left\{\!{\!\!y'=a\cdot y \atop y(x_{0})=b}\right.~(a\in \mathbb {R} \,,\,b\in \mathbb {R} )$ admet une unique solution $\scriptstyle f(x)={\frac {b}{\mathrm {e} ^{a\cdot x_{0}}}}\cdot \mathrm {e} ^{a\cdot x}$.

• L'unique solution du système $\scriptstyle \left\{\!{\!\!y'=a\cdot y \atop y(0)=1}\right.\,,\,a\in \mathbb {R}$ est la fonction $\scriptstyle x\longrightarrow \mathrm {e} ^{a\cdot x}$.

Propriétés de la fonction exponentielle

• $\scriptstyle \forall x\in \mathbb {R} ~:~\mathrm {e} ^{x}\,>\,0$.

• $\mathrm {e} ^{x+y}=\mathrm {e} ^{x}\cdot \mathrm {e} ^{y}$.

• $\scriptstyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\forall y\in \mathbb {R} ~:~\mathrm {e} ^{x-y}\,=\,{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{\mathrm {e} ^{y}}}$.

• $\forall n\geqslant 2~:~\mathrm {e} ^{x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}=\mathrm {e} ^{x_{1}}*\mathrm {e} ^{x_{2}}*\ldots *\mathrm {e} ^{x_{n}}~\Leftrightarrow ~\exp(\sum _{i=1}^{i=n}x_{i})=\prod _{i=1}^{i=n}\mathrm {e} ^{x_{i}}$.

• $\scriptstyle \forall n\in \mathbb {Z} ~:~\left(\mathrm {e} ^{x}\right)^{n}\,=\,\mathrm {e} ^{n\cdot x}$.

Ordre et dérivation

• Comme la fonction $\scriptstyle x\longrightarrow \mathrm {e} ^{x}$ est définie et dérivable sur $\mathbb {R}$, on a les équivalences suivantes :
  ${x=y\Leftrightarrow \mathrm {e} ^{x}=\mathrm {e} ^{y} \atop x\leqslant y\Leftrightarrow \mathrm {e} ^{x}\leqslant \mathrm {e} ^{y}}\quad \forall x\in \mathbb {R} ,\forall y\in \mathbb {R}$.

• $\scriptstyle (\mathrm {e} ^{-x})'=-\mathrm {e} ^{-x}$.

• $\scriptstyle (\mathrm {e} ^{u})'=u'\cdot \mathrm {e} ^{u}$ où $u$ est une fonction de $x$ dérivable, $u'$ étant sa dérivée.

Limites à connaître

• $\lim \limits _{x\to +\infty }\mathrm {e} ^{x}=+\infty$.

• $\lim \limits _{x\to -\infty }\mathrm {e} ^{x}=0^{+}$.

• $\lim \limits _{x\to +\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x}}=+\infty$.
  

$\forall n\in \mathbb {N} ~:~\lim \limits _{x\to +\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x^{n}}}=+\infty$.

• $\lim \limits _{x\to -\infty }x\cdot \mathrm {e} ^{x}=0^{-}$.

• $\lim \limits _{x\to 0}{\frac {\mathrm {e} ^{x}-1}{x}}=1$.

Propriétés au sein de la famille des fonctions exponentielles

La généralisation présentée ici, accessible au niveau de la terminale, est à la base d'un nombre important d'utilisations dans les sciences quantitatives, les sciences physico-chimiques, dont la mécanique, les études statistiques appliquées, les géosciences, l'économie, etc.

Considérons les deux familles de transformations géométriques que sont les dilatations et les translations. Voyons d'abord celles selon l'axe des abscisses (» horizontales »), puis celles selon l'axe des ordonnées (» verticales »).

• On a vu qu'une dilatation selon l'axe des abscisses, revient à changer de coefficient de proportionnalité sous l'exponentielle.
• Une translation selon l'axe des abscisses, est équivalente à une dilatation selon l'axe des ordonnées.
• Et réciproquement.
• Enfin une translation selon l'axe des ordonnées, permet de modifier la valeur asymptotique de l'exponentielle, à savoir le zéro à l'infini négatif pour la fonction exponentielle proprement dite (coefficient de proportionnalité égal à +1), et le zéro à l'infini positif pour sa fonction inverse, qui est simplement la fonction exponentielle avec un coefficient de proportionnalité égal à -1.

L'écriture formelle de cette famille des courbes exponentielles fait donc apparaît trois constantes, à savoir :

• la valeur en ordonnée fixant la position verticale de la droite asymptotique horizontale (asymptote vers l'infini positif, ou vers l'infini négatif, selon le signe de croissance de l'exponentielle relativement au signe du facteur d'amplitude verticale (ou gain vertical) ;
• le facteur d'amplitude verticale au-dessus (ou en-dessous) de l'asymptote horizontale ;
• et le coefficient de proportionnalité entre taux de variation (ou d'accroissement, i.e. la dérivée) et la valeur de la fonction au-dessus (ou en-dessous) de son asymptote horizontale.

Notons ces trois constantes, respectivement $Y_{asymp}$, ${\Delta }Y$ et $K_{x}$. L'écriture algébrique de la famille des exponentielles indexée par ces trois constantes est alors :

$f(x;Y_{asymp},{\Delta }Y,K_{x})=Y_{asymp}+{\Delta }Y\cdot \exp(K_{x}\cdot x)$

Notons que, partant de quatre transformations géométriques, on ne trouve que trois constantes, correspondant de fait à trois de ces transformations géométriques qui sont indépendantes, la quatrième, par exemple la dilatation verticale, se confondant avec l'une des 3 autres, la translation horizontale, du fait des propriétés de l'exponentielle décrites plus haut.