Équations différentielles Modifier
Une équation différentielle est une équation dans laquelle l'inconnue est une fonction, généralement notée
y
{\displaystyle y}
y
′
{\displaystyle y'}
Il existe une unique fonction dérivable sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
{
y
′
=
y
y
(
0
)
=
1
{\displaystyle \scriptstyle \left\{\!{\!\!\!\!y'=y \atop y(0)=1}\right.}
fonction exponentielle , et elle est notée
exp
(
x
)
{\displaystyle \exp(x)}
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
x
{\displaystyle x}
e
x
{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}
Le système différentiel
{
y
′
=
a
⋅
y
y
(
x
0
)
=
b
(
a
∈
R
,
b
∈
R
)
{\displaystyle \scriptstyle \left\{\!{\!\!y'=a\cdot y \atop y(x_{0})=b}\right.~(a\in \mathbb {R} \,,\,b\in \mathbb {R} )}
f
(
x
)
=
b
e
a
⋅
x
0
⋅
e
a
⋅
x
{\displaystyle \scriptstyle f(x)={\frac {b}{\mathrm {e} ^{a\cdot x_{0}}}}\cdot \mathrm {e} ^{a\cdot x}}
L'unique solution du système
{
y
′
=
a
⋅
y
y
(
0
)
=
1
,
a
∈
R
{\displaystyle \scriptstyle \left\{\!{\!\!y'=a\cdot y \atop y(0)=1}\right.\,,\,a\in \mathbb {R} }
x
⟶
e
a
⋅
x
{\displaystyle \scriptstyle x\longrightarrow \mathrm {e} ^{a\cdot x}}
Propriétés de la fonction exponentielle Modifier
∀
x
∈
R
:
e
x
>
0
{\displaystyle \scriptstyle \forall x\in \mathbb {R} ~:~\mathrm {e} ^{x}\,>\,0}
e
x
+
y
=
e
x
⋅
e
y
{\displaystyle \mathrm {e} ^{x+y}=\mathrm {e} ^{x}\cdot \mathrm {e} ^{y}}
∀
x
∈
R
,
∀
y
∈
R
:
e
x
−
y
=
e
x
e
y
{\displaystyle \scriptstyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\forall y\in \mathbb {R} ~:~\mathrm {e} ^{x-y}\,=\,{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{\mathrm {e} ^{y}}}}
∀
n
⩾
2
:
e
x
1
+
x
2
+
…
+
x
n
=
e
x
1
∗
e
x
2
∗
…
∗
e
x
n
⇔
exp
(
∑
i
=
1
i
=
n
x
i
)
=
∏
i
=
1
i
=
n
e
x
i
{\displaystyle \forall n\geqslant 2~:~\mathrm {e} ^{x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}=\mathrm {e} ^{x_{1}}*\mathrm {e} ^{x_{2}}*\ldots *\mathrm {e} ^{x_{n}}~\Leftrightarrow ~\exp(\sum _{i=1}^{i=n}x_{i})=\prod _{i=1}^{i=n}\mathrm {e} ^{x_{i}}}
∀
n
∈
Z
:
(
e
x
)
n
=
e
n
⋅
x
{\displaystyle \scriptstyle \forall n\in \mathbb {Z} ~:~\left(\mathrm {e} ^{x}\right)^{n}\,=\,\mathrm {e} ^{n\cdot x}}
Ordre et dérivation Modifier
Comme la fonction
x
⟶
e
x
{\displaystyle \scriptstyle x\longrightarrow \mathrm {e} ^{x}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
x
=
y
⇔
e
x
=
e
y
x
⩽
y
⇔
e
x
⩽
e
y
∀
x
∈
R
,
∀
y
∈
R
{\displaystyle {x=y\Leftrightarrow \mathrm {e} ^{x}=\mathrm {e} ^{y} \atop x\leqslant y\Leftrightarrow \mathrm {e} ^{x}\leqslant \mathrm {e} ^{y}}\quad \forall x\in \mathbb {R} ,\forall y\in \mathbb {R} }
(
e
−
x
)
′
=
−
e
−
x
{\displaystyle \scriptstyle (\mathrm {e} ^{-x})'=-\mathrm {e} ^{-x}}
(
e
u
)
′
=
u
′
⋅
e
u
{\displaystyle \scriptstyle (\mathrm {e} ^{u})'=u'\cdot \mathrm {e} ^{u}}
u
{\displaystyle u}
x
{\displaystyle x}
u
′
{\displaystyle u'}
Limites à connaître Modifier 
