Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Calcul intégral

Notion d'intégrale

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  • Si   est une fonction définie sur  , où   et   :
    on appelle   la somme algébrique des aires situées entre les droites verticales  ,  , l'axe   et la courbe  .


  •  


  • Si   est une fonction paire, alors :  


  • Si   est une fonction impaire, alors :  


  • Linéarité de l'intégrale :
    • si   et   sont définies sur   :  
    • si  , alors :  


  •  
     


  • Si   sur  
    alors  


  • Si  , on a :  
    alors  


Primitives

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  • Si   est une fonction continue sur un intervalle  , on peut définir la fonction   de telle sorte que   soit dérivable et  . De plus,  .
    La fonction   est alors l'unique primitive de   qui s'annule en  .


  • Si   est une fonction dérivable sur   et si   pour tout  , alors   est une primitive de   sur  .


  • Si   et   sont 2 primitives d'une même fonction   sur   alors   et   diffèrent d'une constante, c'est-à-dire qu'il existe   tel que  
  • Réciproquement, si   et   sont dérivables sur   et diffèrent d'une constante sur  , alors   et   sont primitives d'une même fonction   sur  , qui n'est autre que leur dérivée.


  • Une même fonction   admet une infinité de primitives sur   mais ces primitives diffèrent les unes des autres par des constantes.

Primitives : propriétés opératoires

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  • Si  , alors  
  • Si   (où  ), alors  

Primitives à connaître

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Primitives à connaître
Validité    
     
cas particulier
 
   
   
   
   
   
   
   
   


Validité    
 
 
   
 
 
   
     

Calcul d'intégrales

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  • Théorème fondamental de l'analyse (version équivalente): si   est une fonction admettant   pour primitive, alors  .
  • Formule d'intégration par parties : si   et   sont deux fonctions pour lesquelles les expressions suivantes ont un sens, alors  .