Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Calcul intégral
Notion d'intégrale
modifier- Si est une fonction définie sur , où et :
on appelle la somme algébrique des aires situées entre les droites verticales , , l'axe et la courbe .
- Si est une fonction paire, alors :
- Si est une fonction impaire, alors :
- Linéarité de l'intégrale :
- si et sont définies sur :
- si , alors :
- Si sur
alors
- Si , on a :
alors
Primitives
modifier- Si est une fonction continue sur un intervalle , on peut définir la fonction de telle sorte que soit dérivable et . De plus, .
La fonction est alors l'unique primitive de qui s'annule en .
- Si est une fonction dérivable sur et si pour tout , alors est une primitive de sur .
- Si et sont 2 primitives d'une même fonction sur alors et diffèrent d'une constante, c'est-à-dire qu'il existe tel que
- Réciproquement, si et sont dérivables sur et diffèrent d'une constante sur , alors et sont primitives d'une même fonction sur , qui n'est autre que leur dérivée.
- Une même fonction admet une infinité de primitives sur mais ces primitives diffèrent les unes des autres par des constantes.
Primitives : propriétés opératoires
modifier- Si , alors
- Si (où ), alors
Primitives à connaître
modifierValidité | ||
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cas particulier |
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Validité | ||
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Calcul d'intégrales
modifier- Théorème fondamental de l'analyse (version équivalente): si est une fonction admettant pour primitive, alors .
- Formule d'intégration par parties : si et sont deux fonctions pour lesquelles les expressions suivantes ont un sens, alors .