Savoirs fondamentaux du programme de MPSI/Mathématiques/Fonctions usuelles

Généralités

Notions d'injection, de surjection et de bijection

Définitions

• On dit que la fonction $f$ est injective si : $\forall (x,y)\in E^{2},f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$
• On dit que la fonction $f$ est surjective si : $\forall y\in F,\exists x\in E,y=f(x)$
• On dit que la fonction $f$ est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective, donc si : $\forall y\in F,\exists !x\in E,y=f(x)$

Bijection réciproque

• Si $\scriptstyle f:E\rightarrow F$ est bijective, on appelle bijection réciproque de $f$ l'application $f^{-1}:{\begin{array}{llll}_{F\rightarrow E}\\^{y\rightarrow x}\end{array}}$
  où $x$ est l'unique antécédent de $y$ par $f$.

Continuité

• Soit $\scriptstyle x_{0}\in I$ et $f$ une fonction. On dit que $f$ est continue en $x_{0}$ si $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$
• De manière équivalente, $f$ est continue en $x_{0}$ si et seulement si, pour toute suite $(u_{n})_{n>0}$ qui converge, la suite $\scriptstyle (f(u_{n}))_{n\geqslant 0}$ converge vers $f(x_{0})$.

Dérivabilité

Définition

• On dit que $f$ est dérivable en $\scriptstyle a\in I$ si $\scriptstyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$ existe.
  Dans ce cas, on note $f'(a)$ ce nombre réel appelé le nombre dérivé de $f$ en $a$.
• On dit que $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si $f$ est dérivable en tout point de $I$.
  Dans ce cas, on appelle dérivée de $f$ la fonction $f':{\begin{array}{llll}_{I\rightarrow \mathbb {R} }\\^{x\rightarrow f'(x)}\end{array}}$.

Dérivée d'une composée de fonctions

• Soit $\scriptstyle g:J\rightarrow \mathbb {R}$ une fonction où $J$ est un intervalle tel que $\scriptstyle f(I)\subset J$.
• Si $f$ est dérivable sur $I$ et $g$ dérivable sur $J$, alors :
  $g\circ f:{\begin{array}{llll}_{I\rightarrow \mathbb {R} }\\^{x\rightarrow g[f(x)]}\end{array}}$ est dérivable sur $I$ et $\scriptstyle (g\circ f)'=(g'\circ f)\cdot f'$

Dérivée de la réciproque d'une fonction

• Soit $\scriptstyle f:I\rightarrow \mathbb {R}$ une fonction continue strictement monotone.
  • Si $f$ est dérivable en $\scriptstyle a\in I$, $f^{-1}$ est dérivable au point $f(a)$ si et seulement si $\scriptstyle f'(a)\neq 0$, et on a alors : $(f^{-1})'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}$
  • Si $f$ est dérivable sur $I$ et $\scriptstyle \forall x\in I,f'(x)\neq 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable sur $f(I)$ et $(f^{-1})'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}$.

Propriétés utiles sur les variations

Variations de fonctions

• On dit que $f$ est croissante si : $\forall (x,y)\in I^{2},x\leqslant y\Rightarrow f(x)\leqslant f(y)$
• On dit que $f$ est strictement croissante si : $\forall (x,y)\in I^{2},x<y\Rightarrow f(x)<f(y)$
• On dit que $f$ est décroissante si : $\forall (x,y)\in I^{2},x\leqslant y\Rightarrow f(x)\geqslant f(y)$
• On dit que $f$ est strictement décroissante si : $\forall (x,y)\in I^{2},x<y\Rightarrow f(x)>f(y)$

Cas de stricte monotonie

• Si $\scriptstyle f:I\rightarrow \mathbb {R}$ est strictement monotone, alors $f$ est injective.
• En particulier, si elle est continue, $\scriptstyle f:I\rightarrow f(I)$ est bijective.
• De plus, $\scriptstyle f^{-1}:f(I)\rightarrow I$ est strictement monotone de même sens que $f$.

Théorème

• Soit $\scriptstyle f:I\rightarrow \mathbb {R}$ une fonction continue strictement monotone. Alors :
  • $f(I)$ est un intervalle,
  • $f$ est une bijection de $I$ sur $f(I)$,
  • $f^{-1}$ est continue et strictement monotone de même sens que $f$.

Bijections réciproques des fonctions trigonométriques

Tableau récapitulatif

	Domaine de définition	Domaine d'arrivée	Domaine de dérivabilité	Dérivée	Parité	Autres infos	Graphe
$\cos$	$\textstyle [0,\pi ]$	$\textstyle [-1,1]$	$\textstyle ]0,\pi [$	$\textstyle \cos '(x)=-\sin(x)$	paire
$\arccos$	$\textstyle [-1,1]$	$\textstyle [0,\pi ]$	$\textstyle ]-1,1[$	$\arccos \,\!'(y)={\frac {-1}{\sqrt {1-y^{2}}}}$	ni paire, ni impaire !
$\sin$	$[{\frac {-\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$	$\textstyle [-1,1]$	$]{\frac {-\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}[$	$\textstyle \sin '(x)=\cos(x)$	impaire
$\arcsin$	$\textstyle [-1,1]$	$[{\frac {-\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$	$\textstyle ]-1,1[$	$\arcsin '(y)={\frac {1}{\sqrt {1-y^{2}}}}$	impaire
$\tan$	$]{\frac {-\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}[$	$\mathbb {R}$	$]{\frac {-\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}[$	$\textstyle \tan '(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)$	impaire
$\arctan$	$\mathbb {R}$	$]{\frac {-\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}[$	$\mathbb {R}$	$\arctan '(y)={\frac {1}{1+y^{2}}}$	impaire	$\scriptstyle \lim _{y\to +\infty }\arctan(y)={\frac {\pi }{2}}$ $\scriptstyle \lim _{y\to -\infty }\arctan(y)={\frac {-\pi }{2}}$