Rappels d'algèbre linéaire

Espace quotientModifier

Relations, relations d'équivalenceModifier

Définitions . Soit   un ensemble. Une relation sur   est une partie   de  . Si  , on écrit  , et on dit que   et   sont en relation par  . Une relation peut être :

  • réflexive si  
  • symétrique si  
  • transitive si  
  • antisymétrique si  

Une relation d'équivalence est une relation réflexive, transitive et symétrique. Une relation d'ordre est une relation réflexive, transitive et antisymétrique.

Remarques Une relation d'équivalence généralise l'égalité qui est la relation d'équivalence la plus fine (pour toute relation d'équivalence   on a   par réflexivité).

Exemples

  • Le parallélisme est une relation d'équivalence sur l'ensemble des droites du plan.
  • Si   est un sous groupe de   alors si pour  , on écrit   alors   est une relation d'équivalence sur  .
  • L'ordre usuel ( ) sur  , sur  , sur   ou sur   sont des relations d'ordre.
  • Si   est un ensemble, la relation   définie sur   (l'ensemble des parties de  ) est une relation d'ordre.

Définition Soit   un ensemble muni d'une relation d'équivalence  . Soit   dans  , on appelle classe d'équivalence de   selon   et on note   (ou bien   ou   si il n'y a pas ambiguité sur la relation) l'ensemble de tous les éléments de    -équivalent à  ,i.e.  . On dit classe selon  , ou classe sous   ou classe modulo  .

PartitionsModifier

Définition. Soit   un ensemble. On appelle partition de   une famille   de sous-ensembles non-vides de   telle que :

 
 

Exemples

  • L'ensemble des intervalles réels   pour   forme une partition de l'ensemble   des réels positifs ou nuls.
  • Si   est un groupe et   est un sous-groupe de  , posons, pour  ,  . Alors la famille   est une partition de  .

Propriétés Un premier résultat (facile à vérifier) est le suivant :

Pour toute relation d'équivalence  , l'ensemble   de toutes les classes d'équivalences forme une partition de  . Réciproquement tout partition   de   permet de définir une relation d'équivalence par  .


Remarque Il en découle qu'une classe est totalement définie par n'importe lequel de ses éléments. On parle alors de représentant de la classe. L'ensemble   de toutes les classes d'équivalences est appelé quotient de   par  . Pour plus de commodité chaque élément de   est représenté par un de ses représentants.

Exemple Si   est un groupe et   en est un sous-groupe, les classes pour la relation   sont les  .

QuotientsModifier

Définition Soit   un ensemble et   une relation sur  . On définit le quotient de   par  , que l'on note  , comme l'ensemble des classes modulo  .