Programmation algorithmique/Arbres

Un arbre est une structure de données hiérarchique sans cycle.

Programmation algorithmique

• Introduction
• Nombre d'opérations optimal
• Mathématiques simples
• Tableaux : parcours, recherches
• Tris de tableaux
• Structures de données
  • Listes simplement chaînées
  • Listes doublement chaînées
  • Arbres

Principes

Un arbre est constitué de nœuds. Chaque nœud contient lui-même un ensemble de nœuds "fils" (tableau ou liste selon l'implémentation).

Le premier nœud sans père, père de tous les autres est nommé "racine de l'arbre". Généralement, seul le nœud père est conservé dans une variable, car on peut obtenir les autres nœuds en parcourant l'arbre.

Il existe 2 méthodes classiques de parcours d'arbre :

• Parcours en Profondeur, on part de la racine et on descends jusqu'à une première feuille avant de passer aux nœuds suivants puis remonter. Dans cette représentation, les feuilles apparaissent aux côtés de leur arborescence.
• Parcours en Largeur, les élément du niveau courant sont traités puis on passe aux éléments du niveau suivant.

Les parcours en largeur sont plus difficiles à réaliser car, en l'absence de liens entre les nœuds d'un même niveau dans la structure de données, on utilise généralement une file pour stocker temporairement les nœuds à traiter dans l'ordre approprié. Cependant le parcours en profondeur peut avoir besoin d'une pile pour stocker les nœuds parents si le lien parent est absent de la structure de données des nœuds ; cette pile peut être implicite avec les algorithmes récursifs car il s'agit alors de la pile d'appel des fonctions.

Intérêt

Certaines données présentent naturellement une structure d'arbre, par exemple les arbres de syntaxe dans un compilateur. Mais l'usage des arbres ne se limite pas à ces cas : ils sont notamment utilisés pour stocker des données de manière à accélérer leur temps d'accès par rapport au stockage dans un taleau ou dans une liste (complexité en temps logarithmique contre complexité en temps linéaire).

Le classement d'une série de données avec un arbre permet des recherches en log(N) si l'arbre est trié et « équilibré » (si dans tout l'arbre, pour 2 branches voisines, on a soit une longueur égale, soit une différence de longueur de 1 au maximum).

Il existe des algorithmes peu coûteux pour garder un arbre « équilibré » sur insertion ou suppression d'un élément.

Exemple :

Si chaque nœud a 2 fils, un arbre équilibré de 63 éléments aura une profondeur de seulement 6 :

• 1^er niveau = 1 nœud racine
• 2^e niveau = 2 nœuds
• 3^e niveau = 4 nœuds
• …
• 6^e niveau = 32 nœuds

Une recherche d'un élément se fera donc bien en 6 tests, et

$64=2^{6}\Longrightarrow \log(64)=6\times \log(2)$.

Algorithmes

Arbres binaires quelconques

Parcours en profondeur

Parcours préfixe

fonction préfixe( A: nœud)

si A ‡ nil /* condition */

traitement (A.¨info) /* afficher l'information contenue dans le nœud */

préfixe (A.sag) /* Parcours préfixe sur le sous arbre gauche */

préfixe (A.sad) /* Parcours préfixe sur le sous arbre droit */

fin si

fin