Produit scalaire (E-M)

Exercices de mathématiques

Sommaire

Le produit scalaire associe à deux vecteurs d'un espace vectoriel un scalaire en vérifiant un certain nombre de propriétés de linéarité et de symétrie (voir produit scalaire)

Produit scalaire niveau lycée

...à faire...

Produit scalaire niveau MP

• $\star$Considérons l'espace vectoriel $E=\mathbb {R} [X]$.

1. Montrer que l'application $E\times E\longrightarrow \mathbb {R} ,\ (P,Q)\longmapsto (P|Q)=\int _{-1}^{1}{{{\tilde {P}}(t)\,{\tilde {Q}}(t)} \over {\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt$ est un produit scalaire sur $E$. $E$ est alors l'espace vectoriel préhilbertien réel $(\mathbb {R} [X],(.|.))$. Considérons la famille $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ d'éléments de E vérifiant $\forall n\in \mathbb {N} ,\forall \theta \in \mathbb {R} ,\,T_{n}(cos\,\theta )=cos(n\,\theta )$ (les polynômes de Tchebytchev de première espèce).
2. Montrer que la famille $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est orthogonale. Calculer la norme de chaque élément.

• $\star$Considérons l'espace vectoriel $E=\mathrm {M} _{n}(\mathbb {K} )$.

1. Montrer que l'application $E\times E\longrightarrow \mathbb {R} ,\ (M,N)\longmapsto (M|N)=Tr({}^{t}\!M\,N)$ est un produit scalaire sur $E$. $E$ est alors l'espace vectoriel préhilbertien $(\mathrm {M} _{n}(\mathbb {K} ),(.|.))$.Soit $P\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {K} )$. Soit $u$ l'endomorphisme de E défini par $\forall M\in E,u(M)=P^{-1}\,M\,P$.
2. Quel est l'adjoint de $u$ ?