La mécanique quantique constitue le pilier d'un ensemble de théories physiques qu'on regroupe sous l'appellation générale de physique quantique. Cette dénomination s'oppose à celle de physique classique, celle-ci échouant dans sa description du monde microscopique (atomes et particules) ainsi que dans celle de certaines propriétés du rayonnement électromagnétique.


Introduction modifier

En mécanique quantique, une particule n'est pas décrite par sa position et sa vitesse mais par une fonction de l'espace et du temps à valeur dans les complexes dont le module carré a une interprétation de densité de probabilité.

Pour en comprendre l'origine, il faut s'intéresser à la structure hamiltonienne des équations classiques qui est préservée en mécanique quantique. Une formulation mathématique du passage d'une théorie classique à une théorie quantique (« principe de correspondance »), est morphisme de C*-algèbre.

L´idée de morphisme (cf. homomorphisme) exprime la ressemblance entre deux ensembles. Dans notre cas, l'algèbre en question est l'algèbre des observables, c´est de manière très générale les quantités qui peuvent être mesurées. Dans le cadre de systèmes dynamiques hamiltoniens ces observables sont l´algèbre de fonctions (à valeur réelles) de l´espace de phase. Cette idée de morphisme est fondamentale, de manière heuristique elle pointe précisément ce qui en mécanique quantique ressemble à la mécanique classique. Les problèmes du spectre et de la stabilité même des atomes ont montré les limites de la physique classique mais ses succès signifient bien qu´elle contient quelque chose de valide, a partir de laquelle s´est construit la mécanique quantique.

On peut par ailleurs aussi motiver l´introduction de la structure d´algèbre, en considérant un système symétrique sous l'action des rotations (cf. symétries), le théorème de Noether (cf. système dynamique lagrangien) permet de définir une quantité conservée, le moment cinétique . Les trois générateurs du groupe de rotation sont les opérateurs spin à un coefficient   près, ce sont trois vecteurs d'une algèbre de Lie. Cette structure d´algèbre de Lie se définit bien sur indépendamment de la physique, mais ce qu´il faut remarquer c´est que le groupe de symétrie ne correspond pas à quelque chose de mesurable physiquement mais les vecteurs de l´algèbre de Lie si. Cet exemple relie symétrie à une structure particulière d´algèbre (cf. algèbre associative, algèbre non associative), qui cependant n´est valable que si la symétrie est vérifiée. Dirac a introduit l´idée de quantification parfaite autour de la structure d´algèbre de Poisson.

Le comportement quantique modifier

Expérience avec des particules modifier

Expérience avec des ondes modifier

Expérience avec des électrons modifier

Premiers principes de la mécanique quantique modifier

Le principe d'indétermination modifier

Ondes ou particules ? : Quantons modifier

Amplitudes de probabilités modifier

Mesure de la position et de l'impulsion modifier

Diffraction modifier

La dimension d'un atome modifier

Le diamètre d'un atome est voisin de 10 exposant -8 cm ou encore 10 exposant -10 m. Celui d'un noyau est voisin de 10 exposant -15 m. L'électron porte une charge électrique NÉGATIVE, le proton porte une charge électrique POSITIVE exactement opposée à celle de l'électron. Le neutron, lui, est électriquement NEUTRE.

Les niveaux d'énergie modifier

Système de particules identiques modifier

Bosons et Fermions modifier

États à 2 bosons modifier

États à n bosons modifier

Émission et absorption de photons modifier

Le spectre du corps noir modifier

L'hélium liquide modifier

Le principe d'exclusion de Pauli modifier

Le spin modifier

Le spin est une observable prenant des valeurs demi-entières positives. 2s+1, où s est la valeur du spin, est la dimension de la représentation du groupe de rotation SO(3).

L'expérience de Stern et Gerlach modifier

États d'un système quantique modifier

Transformations modifier

Rotations autour de Z modifier

Rotations autour de Y modifier

Rotations autour de X modifier

Dépendances temporelles modifier

États stationnaires modifier

Mouvement uniforme modifier

Énergie potentielle et conservation de l'énergie modifier

Les forces modifier

Le Hamiltonien modifier

Amplitudes et vecteurs d'état modifier

Résolution des vecteurs d'état modifier

Évolution temporelle des états quantiques modifier

La matrice Hamiltonien modifier

Systèmes quantiques à 2 états modifier

L’Équation de Schrödinger modifier

 


L’Équation de Klein Gordon modifier

 

L’Équation de Dirac modifier

L'équation de Dirac est une équation formulée par Paul Dirac en 1928 dans le cadre de sa mécanique quantique relativiste de l'électron. Il s'agit au départ d'une tentative pour incorporer la relativité restreinte à des modèles quantiques, avec une écriture linéaire en la masse et l'impulsion.

 

Symétries et lois de conservation modifier

Une première formulation est la commutation de l´évolution temporelle et d´une transformation que l´on appelle alors symétrie.

(faire un diagramme commutatif...) Dans l´exemple de la symétrie par rotation, le diagramme exprime que si on tourne un système puis on regarde son évolution, on aboutit au même système que si on le fait évolution puis on le tourne.

-transformation Active/ Passive

Une remarque que l´on peut faire au sujet de cette définition de symétrie est le rôle particulier du temps, étant sous entendu que l´évolution se fait dans le temps. Il existe d´autres définitions de symétrie utilisant l´idée de localité.

Références modifier

Quantum mechanics for mathematicians, Leon A. Takhtajan. Livre très original qui insiste sur les structures mathématiques de la physique quantique, et dont les premiers chapitres sont accessibles http://www.math.sunysb.edu/~leontak/570-S06/ChapterI-II.pdf ou directement sur le site de AMS.