Mathc matrices/25d
L'équation d'un cercle
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Présentation :
Un système linéaire homogène avec autant d'équation
que d'inconnus a une solution non trivial si et
seulement le déterminant de cette matrice est nul.
Calculons l'équation d'un cercle passant par les points P Q R :
c1(x^2 +y^2) + c2 x + c3 y + c4 = 0
Cette même équation avec les points P(x1,y1) Q(x2,y2) et R(x3,y3):
c1(x1^2+y1^2) + c2 x1 + c3 y1 + c4 = 0
c1(x2^2+y2^2) + c2 x2 + c3 y2 + c4 = 0
c1(x3^2+y3^2) + c2 x3 + c3 y3 + c4 = 0
Le système de quatre équations :
c1(x^2 +y^2) + c2 x + c3 y + c4 = 0
c1(x1^2+y1^2) + c2 x1 + c3 y1 + c4 = 0
c1(x2^2+y2^2) + c2 x2 + c3 y2 + c4 = 0
c1(x3^2+y3^2) + c2 x3 + c3 y3 + c4 = 0
Le déterminant du système :
|x^2 + y^2 x y 1|
|x1^2+y1^2 x1 y1 1| = 0
|x2^2+y2^2 x2 y2 1|
|x3^2+y3^2 x3 y3 1|
Le déterminant du système en language C :
| 1 1 1 1|
|x1^2+y1^2 x1 y1 1| = 0
|x2^2+y2^2 x2 y2 1|
|x3^2+y3^2 x3 y3 1|
Pour calculer les coéficients de l'équation du cercle
on utilise le développement sur la première ligne en
calculant les cofacteurs.
cof(R1,C1)(x^2 + y^2) + cof(R1,C2) x + cof(R1,C3) y + cof(R1,C4) = 0
Cette équation nous donnes l'équation du cercle qui
passe par les trois points P Q et R.
Deux exemples :