Mathc matrices/25b
L'équation d'un plan
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Présentation :
Un système linéaire homogène avec autant d'équation
que d'inconnus a une solution non trivial si et
seulement le déterminant de cette matrice est nul.
Calculons l'équation du plan passant par les points P Q et R:
c1 x + c2 y + c3 z + c4 = 0
Cette même équation avec les points P(x1,y1,z1) Q(x2,y2,z2) et R(x3,y3,z3):
c1 x1 + c2 y1 + c3 z1 + c4 = 0
c1 x2 + c2 y2 + c3 z2 + c4 = 0
c1 x3 + c2 y3 + c3 z3 + c4 = 0
Le système de quatre équations :
c1 x + c2 y + c3 z + c4 = 0
c1 x1 + c2 y1 + c3 z1 + c4 = 0
c1 x2 + c2 y2 + c3 z2 + c4 = 0
c1 x3 + c2 y3 + c3 z3 + c4 = 0
Le déterminant du système :
|x y z 1|
|x1 y1 z1 1| = 0
|x2 y2 z2 1|
|x3 y3 z3 1|
Le déterminant du système en language C :
|1 1 1 1|
|x1 y1 z1 1| = 0
|x2 y2 z2 1|
|x3 y3 z3 1|
Pour calculer les coéficients de l'équation
du plan on utilise le développement sur la
première ligne en calculant les cofacteurs.
cof(R1,C1) x + cof(R1,C2) y + cof(R1,C3) Z + cof(R1,C4) = 0
Cette équation nous donnes l'équation du
plan qui passe par les trois points P Q et R.
Deux exemples :